Chủ đề này có 3 trả lời

[leanh9adst]

Cho a,b nguyên dương sao cho A = (a^2+b^2):(ab+1) nguyên. Cmr A là scp

[PhucLe]

Lần sau tiêu đề không viết tắt nha bạn

[I Love MC]

Đặt $k=\frac{a^2+b^2}{ab+1} (k \in \mathbb{Z})$  
Giả sử $k$ không là số chính phương 
Cố định số nguyên dương $k$, sẽ tồn tại cặp $(a,b)$ . Ta kí hiệu 
$S=\{(a,b) \in NxN| \frac{a^2+b^2}{ab+1}=k\}$ 
Theo nguyên lí cực hạn thì các cặp thuộc $S$ tồn tại $(A,B)$ sao cho $A+B$ đạt min 
Giả sử $A \ge B >0$ . Cố định $B$ ta còn số nữa khác $A$ thảo phương trình $k=\frac{x+B^2}{xB+1}$ 
$\Leftrightarrow x^2-kBx+B^2-k=0$ phương trình có nghiệm $A$
Theo Viet : $\begin{cases} &A+x_2=kB&\\&A.x_2=B^2-k& \end{cases}$ 
Suy ra $x_2=kB-A=\frac{B^2-k}{A}$ 
Dễ thấy $x_2$ nguyên. 
Nếu $x_2<0$ thì $x_2^2-kBx_2+B^2-k \ge x_2^2+k+B^2-k>0$ (vô lí) . Suy ra $x_2 \ge 0$ do đó $(x_2,B) \in S$  
Do $A \ge B>0 \Rightarrow x_2=\frac{B^2-k}{A}<\frac{A^2-k}{A}<A$ 
Suy ra $x_2+B<A+B$ (trái với giả sử $A+B$ đạt min) 
Suy ra $k$ là số chính phương

[ineX]

Đặt $k=\frac{a^2+b^2}{ab+1} (k \in \mathbb{Z})$  
Giả sử $k$ không là số chính phương 
Cố định số nguyên dương $k$, sẽ tồn tại cặp $(a,b)$ . Ta kí hiệu 
$S=\{(a,b) \in NxN| \frac{a^2+b^2}{ab+1}=k\}$ 
Theo nguyên lí cực hạn thì các cặp thuộc $S$ tồn tại $(A,B)$ sao cho $A+B$ đạt min 
Giả sử $A \ge B >0$ . Cố định $B$ ta còn số nữa khác $A$ thảo phương trình $k=\frac{x+B^2}{xB+1}$ 
$\Leftrightarrow x^2-kBx+B^2-k=0$ phương trình có nghiệm $A$
Theo Viet : $\begin{cases} &A+x_2=kB&\\&A.x_2=B^2-k& \end{cases}$ 
Suy ra $x_2=kB-A=\frac{B^2-k}{A}$ 
Dễ thấy $x_2$ nguyên. 
Nếu $x_2<0$ thì $x_2^2-kBx_2+B^2-k \ge x_2^2+k+B^2-k>0$ (vô lí) . Suy ra $x_2 \ge 0$ do đó $(x_2,B) \in S$  
Do $A \ge B>0 \Rightarrow x_2=\frac{B^2-k}{A}<\frac{A^2-k}{A}<A$ 
Suy ra $x_2+B<A+B$ (trái với giả sử $A+B$ đạt min) 
Suy ra $k$ là số chính phương

dòng này nghĩa là gì vậy