Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh $(MPQ) $ tiếp xúc 1 đường tròn cố định


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 lucifer97

lucifer97

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết

Đã gửi 30-04-2016 - 20:21

Cho $BC$ là dây cung cố định của $(O), A$ di động trên cung $BC$ lớn. Gọi $I,P,Q$ lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp, bàng tiếp góc $B$, bàng tiếp góc $C$ của tam giác $ABC. D$ thuộc $(O)$ sao cho $AD$ là đường đối trung của tam giác $ABC$. Phân giác góc $BDC$ giao $(IBC)$ ở $N. M$ đối xứng $N$ qua $PQ$. Chứng minh $(MPQ)$ tiếp xúc 1 đường tròn cố định

 

Nguồn : Own


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lucifer97: 30-04-2016 - 20:54


#2 xuantrandong

xuantrandong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Physics class QH Huế
  • Sở thích:Hình học,hẹn hò :)))

Đã gửi 01-05-2016 - 13:35

Gọi $G$ và $G'$ là điểm chính giữa cung lớn $BAC$ và cung nhỏ $BAC$

$N'$ đối xứng với $N$ qua $G$

$ND$ cắt $\odot (BIC)$ tại $H$.

Ta sẽ chứng minh $\odot (MPQ)$ tiếp xúc với đường tròn $\odot (BIC)$ tại $H$.

Dễ chứng minh $GB$ và $GC$ là tiếp tuyến của $\odot (BIC)$ nên $GP.GQ= GB^{2} = GN.GH= GN'.GH\Rightarrow $ tứ giác $N'PHQ$ nội tiếp $\Rightarrow MPHQ$ nội tiếp $\Rightarrow \odot (BIC)$ và $\odot (MPQ)$ có điểm chung $H$.

Ta sẽ chứng minh tiếp tuyến tại $H,N$ của $\odot (BIC), BC$ và $AG$ đồng quy.

Trước tiên dễ thấy $BNCH$ điều hòa nên tiếp tuyến tại $N, P$ và $BC$ đồng quy.

Dễ chứng minh $AG', GD$ và $BC$ đồng quy

$\Rightarrow G$ là cực của đường thằng $AG$ với $\odot (BIC)$ mà $\overline{N,L,H}$ nên tiếp tuyến tại $N,H$ và $AG$ đồng quy. 

Vậy $4$ đường thẳng $AG, BC,$ tiếp tuyến tại $N$ và $H$ của $\odot (BIC)$ đồng quy tại điểm $J.$

Ta có: $JH^{2}= JB.JC= JA.JG= JP.JQ$ nên $JH$ cũng là tiếp tuyến của đường tròn $\odot (MPHQ)$ 

Vậy $\odot (BIC)$ và $\odot (MPHQ)$ có chung tiếp tuyến $JH$ nên $\odot (BIC)$ tiếp xúc $\odot (MPQ)$.

Ta có điều phải chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 04-05-2016 - 19:02





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh