Chủ đề này có 1 trả lời

[lucifer97]

Cho $BC$ là dây cung cố định của $(O), A$ di động trên cung $BC$ lớn. Gọi $I,P,Q$ lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp, bàng tiếp góc $B$, bàng tiếp góc $C$ của tam giác $ABC. D$ thuộc $(O)$ sao cho $AD$ là đường đối trung của tam giác $ABC$. Phân giác góc $BDC$ giao $(IBC)$ ở $N. M$ đối xứng $N$ qua $PQ$. Chứng minh $(MPQ)$ tiếp xúc 1 đường tròn cố định

 

Nguồn : Own

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lucifer97: 30-04-2016 - 20:54

[xuantrandong]

Gọi $G$ và $G'$ là điểm chính giữa cung lớn $BAC$ và cung nhỏ $BAC$

$N'$ đối xứng với $N$ qua $G$

$ND$ cắt $\odot (BIC)$ tại $H$.

Ta sẽ chứng minh $\odot (MPQ)$ tiếp xúc với đường tròn $\odot (BIC)$ tại $H$.

Dễ chứng minh $GB$ và $GC$ là tiếp tuyến của $\odot (BIC)$ nên $GP.GQ= GB^{2} = GN.GH= GN'.GH\Rightarrow $ tứ giác $N'PHQ$ nội tiếp $\Rightarrow MPHQ$ nội tiếp $\Rightarrow \odot (BIC)$ và $\odot (MPQ)$ có điểm chung $H$.

Ta sẽ chứng minh tiếp tuyến tại $H,N$ của $\odot (BIC), BC$ và $AG$ đồng quy.

Trước tiên dễ thấy $BNCH$ điều hòa nên tiếp tuyến tại $N, P$ và $BC$ đồng quy.

Dễ chứng minh $AG', GD$ và $BC$ đồng quy

$\Rightarrow G$ là cực của đường thằng $AG$ với $\odot (BIC)$ mà $\overline{N,L,H}$ nên tiếp tuyến tại $N,H$ và $AG$ đồng quy. 

Vậy $4$ đường thẳng $AG, BC,$ tiếp tuyến tại $N$ và $H$ của $\odot (BIC)$ đồng quy tại điểm $J.$

Ta có: $JH^{2}= JB.JC= JA.JG= JP.JQ$ nên $JH$ cũng là tiếp tuyến của đường tròn $\odot (MPHQ)$ 

Vậy $\odot (BIC)$ và $\odot (MPHQ)$ có chung tiếp tuyến $JH$ nên $\odot (BIC)$ tiếp xúc $\odot (MPQ)$.

Ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 04-05-2016 - 19:02