Chủ đề này có 14 trả lời

[nuoccam]

Tìm a,b,c nguyên dương: $(a^3+b).(a+b^3) = 2^c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nuoccam: 01-05-2016 - 11:14

[Chris yang]

Tìm a,b,c nguyên dương: $(a^3+b).(a+b^3) = 2^c$

Giải như sau:

 

TH1: $a=b$ dễ thấy $a=b=1$

TH2: Giả sử $a>b$. Từ điều kiện đề bài đặt $a^3+b=2^m,a+b^3=2^n$. Có $a^3+b>a+b^3$ nên $m>n\Rightarrow a+b^3|a^3+b$ $(1)$

Mặt khác, gọi $d=\gcd(a,b)\Rightarrow a=dx,b=dy$ với $(x,y)=1$ $\Rightarrow d^2(y+d^2x^3)(x+d^2y^3)=2^c$

Nếu $d\neq 1$ thì $d$ chẵn. Mà $y+d^2x^3,x+d^2y^3$ cũng chẵn nên $x,y$ chẵn ( vô lý). Do đó $(a,b)=1$

$\Rightarrow (1)\Leftrightarrow 2^n =a+b^3|b^8-1=(b^4-1)(b^4+1)$ suy ra $b$ lẻ.

Mà dễ thấy $\gcd(b^4-1,b^4+1)=2$ nên hoặc $2^{n-1}|b^4-1$ hoặc $2^{n-1}|b^4+1$

+) Nếu $2^{n-1}|b^4+1$: Thấy rằng vì $b$ lẻ nên $v_2(b^4+1)=1$, do đó $n-1=0,1\rightarrow n=1,2$. Thử thấy vô lý

+) Nếu $2^{n-1}|b^4-1=(b^2-1)(b^2+1)$. Tương tự như trên: $\gcd(b^2-1,b^2+1)=2$ nên hoặc $2^{n-2}|b^2+1$ hoặc $2^{n-2}|b^2-1$

Trường hợp $2^{n-2}|b^2+1$ mà $2||b^2+1$ nên $n-2=0,1$. Thử ta thấy không thỏa mãn

Trường hợp $2^{n-2}|b^2-1$. Đặt $b^2=2^{n-2}t+1$. Nếu $t=1\Rightarrow (b-1)(b+1)=2^{n-2}$. Phương trình tích ta dễ dàng tìm được $b=3$. Từ đó có bộ $(a,b,c)=(5,3,12)$ và hoán vị $(a,b)$. Nếu $t\geq 2$ thì $2^n=a+b^3>b(b^2+1)\geq b(2^{n-1}+2)>2^{n-1}b\Rightarrow b<2\rightarrow b=1\rightarrow 2^{n-2}+1=1$ (vô lý)

Vậy $(a,b,n)=(1,1,2), (5,3,12),(3,5,12)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 02-05-2016 - 21:42

[nuoccam]

Giải như sau:

 

TH1: $a=b$ dễ thấy $a=b=1$

TH2: Giả sử $a>b$. Từ điều kiện đề bài đặt $a^3+b=2^m,a+b^3=2^n$. Có $a^3+b>a+b^3$ nên $m>n\Rightarrow a+b^3|a^3+b$ $(1)$

Mặt khác, gọi $d=\gcd(a,b)\Rightarrow a=dx,b=dy$ với $(x,y)=1$ $\Rightarrow d^2(y+d^2x^3)(x+d^2y^3)=2^c$

Nếu $d\neq 1$ thì $d$ chẵn. Mà $y+d^2y^3,x+d^2y^3$ cũng chẵn nên $x,y$ chẵn ( vô lý). Do đó $(a,b)=1$

$\Rightarrow (1)\Leftrightarrow 2^n =a+b^3|b^8-1=(b^4-1)(b^4+1)$ suy ra $b$ lẻ.

Mà dễ thấy $\gcd(b^4-1,b^4+1)=2$ nên hoặc $2^{n-1}|b^4-1$ hoặc $2^{n-1}|b^4+1$

+) Nếu $2^{n-1}|b^4+1$: Thấy rằng vì $b$ lẻ nên $v_2(b^4+1)=1$, do đó $n-1=0,1\rightarrow n=1,2$. Thử thấy vô lý

+) Nếu $2^{n-1}|b^4-1=(b^2-1)(b^2+1)$. Tương tự như trên: $\gcd(b^2-1,b^2+1)=2$ nên hoặc $2^{n-2}|b^2+1$ hoặc $2^{n-2}|b^2-1$

Trường hợp $2^{n-2}|b^2+1$ mà $2||b^2+1$ nên $n-2=0,1$. Thử ta thấy không thỏa mãn

Trường hợp $2^{n-2}|b^2-1$. Đặt $b^2=2^{n-2}t+1$. Nếu $t=1\Rightarrow (b-1)(b+1)=2^{n-2}$. Phương trình tích ta dễ dàng tìm được $b=3$. Từ đó có bộ $(a,b,c)=(5,3,12)$ và hoán vị $(a,b)$. Nếu $t\geq 2$ thì $2^n=a+b^3>b(b^2+1)\geq b(2^{n-1}+2)>2^{n-1}b\Rightarrow b<2\rightarrow b=1\rightarrow 2^{n-2}+1=1$ (vô lý)

Vậy $(a,b,n)=(1,1,2), (5,3,12),(3,5,12)$

Tại sao lại từ (1) suy ra đc cái này vậy chị?

Tại sao $b^8-1$ lại chia hết cho $2^n$ ? 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nuoccam: 02-05-2016 - 21:35

[Chris yang]

Tại sao lại từ (1) suy ra đc cái này vậy chị?

Tại sao $b^8-1$ lại chia hết cho $2^n$ ? 

$a+b^3|a^3+b\Leftrightarrow a+b^3|a^3+b^9-b^9+b$. Mà $a+b^3|a^3+b^9$ nên $a+b^3|b^9-b=b(b^8-1)$. Vì $(a,b)=1$ ( như đã cm ở trên) nên $(a+b^3,b)=1$ 

$\Rightarrow 2^n=a+b^3|b^8-1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 02-05-2016 - 21:41

[Fr13nd]

Giải như sau:

 

TH1: $a=b$ dễ thấy $a=b=1$

TH2: Giả sử $a>b$. Từ điều kiện đề bài đặt $a^3+b=2^m,a+b^3=2^n$. Có $a^3+b>a+b^3$ nên $m>n\Rightarrow a+b^3|a^3+b$ $(1)$

Mặt khác, gọi $d=\gcd(a,b)\Rightarrow a=dx,b=dy$ với $(x,y)=1$ $\Rightarrow d^2(y+d^2x^3)(x+d^2y^3)=2^c$

Nếu $d\neq 1$ thì $d$ chẵn. Mà $y+d^2y^3,x+d^2y^3$ cũng chẵn nên $x,y$ chẵn ( vô lý). Do đó $(a,b)=1$

$\Rightarrow (1)\Leftrightarrow 2^n =a+b^3|b^8-1=(b^4-1)(b^4+1)$ suy ra $b$ lẻ.

Mà dễ thấy $\gcd(b^4-1,b^4+1)=2$ nên hoặc $2^{n-1}|b^4-1$ hoặc $2^{n-1}|b^4+1$

+) Nếu $2^{n-1}|b^4+1$: Thấy rằng vì $b$ lẻ nên $v_2(b^4+1)=1$, do đó $n-1=0,1\rightarrow n=1,2$. Thử thấy vô lý

+) Nếu $2^{n-1}|b^4-1=(b^2-1)(b^2+1)$. Tương tự như trên: $\gcd(b^2-1,b^2+1)=2$ nên hoặc $2^{n-2}|b^2+1$ hoặc $2^{n-2}|b^2-1$

Trường hợp $2^{n-2}|b^2+1$ mà $2||b^2+1$ nên $n-2=0,1$. Thử ta thấy không thỏa mãn

Trường hợp $2^{n-2}|b^2-1$. Đặt $b^2=2^{n-2}t+1$. Nếu $t=1\Rightarrow (b-1)(b+1)=2^{n-2}$. Phương trình tích ta dễ dàng tìm được $b=3$. Từ đó có bộ $(a,b,c)=(5,3,12)$ và hoán vị $(a,b)$. Nếu $t\geq 2$ thì $2^n=a+b^3>b(b^2+1)\geq b(2^{n-1}+2)>2^{n-1}b\Rightarrow b<2\rightarrow b=1\rightarrow 2^{n-2}+1=1$ (vô lý)

Vậy $(a,b,n)=(1,1,2), (5,3,12),(3,5,12)$ 

 

không hiểu đoạn kia ai giải thích hộ đc k 

[nuoccam]

không hiểu đoạn kia ai giải thích hộ đc k 

nếu d khác 1 thì d= $2^x$ ==> d chẵn thôi bạn

[Fr13nd]

chưa hiểu ý bạn

[Fr13nd]

đoạn này thế này mà chị làm tắt làm e chẳng hiểu gì   

thêm bớt thôi

[nuoccam]

chưa hiểu ý bạn

Ta có tính chất sau: nếu a.b=$2^c$ thì (a=$2^m$ và b=$2^n$) (m+n=c) a,b,c,m,n là STN

tính chất cơ bản mà bạn 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nuoccam: 02-05-2016 - 21:54

[Fr13nd]

??? a=2^m thì a là snt ???

[Chris yang]

không hiểu đoạn kia ai giải thích hộ đc k 

 

@nuoccam: Ơ mình giải thích cụ thể thế còn gì !? Chính là thêm bớt như bạn Fr13nd nói đấy

@Fr13nd: Trong phương trình $d^2(y+d^2x^3)(x+d^2y^3)=2^c$ thì hiển nhiên $d$ là ước của $2^c$. Nếu $d$ lẻ thì $d=1$, nếu $d\neq 1$ thì hiển nhiên $d$ chẵn và có dạng $2^t$ nào đó với $t\leq c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 02-05-2016 - 21:55

[Fr13nd]

Ta có tính chất sau: nếu a.b=$2^c$ thì (a=$2^m$ và b=$2^n$) (m+n=c) a,b,c,m,n là STN

tính chất cơ bản mà bạn 

tính chất này mình biết rồi nhưng bạn viết sai 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Fr13nd: 02-05-2016 - 21:56

[Fr13nd]

@nuoccam: Ơ mình giải thích cụ thể thế còn gì !? Chính là thêm bớt như bạn Fr13nd nói đấy

@Fr13nd: Trong phương trình $d^2(y+d^2x^3)(x+d^2y^3)=2^c$ thì hiển nhiên $d$ là ước của $2^c$. Nếu $d$ lẻ thì $d=1$, nếu $d\neq 1$ thì hiển nhiên $d$ chẵn và có dạng $2^t$ nào đó với $t\leq c$

xl, không để ý đoạn đó :v

[Fr13nd]

Giải như sau:

 

TH1: $a=b$ dễ thấy $a=b=1$

TH2: Giả sử $a>b$. Từ điều kiện đề bài đặt $a^3+b=2^m,a+b^3=2^n$. Có $a^3+b>a+b^3$ nên $m>n\Rightarrow a+b^3|a^3+b$ $(1)$

Mặt khác, gọi $d=\gcd(a,b)\Rightarrow a=dx,b=dy$ với $(x,y)=1$ $\Rightarrow d^2(y+d^2x^3)(x+d^2y^3)=2^c$

Nếu $d\neq 1$ thì $d$ chẵn. Mà $y+d^2x^3,x+d^2y^3$ cũng chẵn nên $x,y$ chẵn ( vô lý). Do đó $(a,b)=1$

$\Rightarrow (1)\Leftrightarrow 2^n =a+b^3|b^8-1=(b^4-1)(b^4+1)$ suy ra $b$ lẻ.

Mà dễ thấy $\gcd(b^4-1,b^4+1)=2$ nên hoặc $2^{n-1}|b^4-1$ hoặc $2^{n-1}|b^4+1$

+) Nếu $2^{n-1}|b^4+1$: Thấy rằng vì $b$ lẻ nên $v_2(b^4+1)=1$, do đó $n-1=0,1\rightarrow n=1,2$. Thử thấy vô lý

+) Nếu $2^{n-1}|b^4-1=(b^2-1)(b^2+1)$. Tương tự như trên: $\gcd(b^2-1,b^2+1)=2$ nên hoặc $2^{n-2}|b^2+1$ hoặc $2^{n-2}|b^2-1$

Trường hợp $2^{n-2}|b^2+1$ mà $2||b^2+1$ nên $n-2=0,1$. Thử ta thấy không thỏa mãn

Trường hợp $2^{n-2}|b^2-1$. Đặt $b^2=2^{n-2}t+1$. Nếu $t=1\Rightarrow (b-1)(b+1)=2^{n-2}$. Phương trình tích ta dễ dàng tìm được $b=3$. Từ đó có bộ $(a,b,c)=(5,3,12)$ và hoán vị $(a,b)$. Nếu $t\geq 2$ thì $2^n=a+b^3>b(b^2+1)\geq b(2^{n-1}+2)>2^{n-1}b\Rightarrow b<2\rightarrow b=1\rightarrow 2^{n-2}+1=1$ (vô lý)

Vậy $(a,b,n)=(1,1,2), (5,3,12),(3,5,12)$

ký hiệu kia là số mũ phải không bạn, bạn có tài liệu, một số bài tập nào đề cập đến số mũ không, thanks.

[nuoccam]

 

tính chất này mình biết rồi nhưng bạn viết sai 

sai chỗ nào bạn ?