Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq 2016$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 mikonnothing

mikonnothing

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 01-05-2016 - 11:40

Cho a,b là các số dương thỏa mãn $(a+b)^{3}+4ab\leq 12$.Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq 2016$



#2 NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh

Đã gửi 01-05-2016 - 15:54

Cho a,b là các số dương thỏa mãn $(a+b)^{3}+4ab\leq 12$.Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq 2016$

Ta có:

$12\geq (a+b)^{3}+4ab\geq a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)+4ab\geq 4ab(a+b)+4ab\geq 8\sqrt{a^{3}b^{3}}+4ab$

$\Leftrightarrow 3\geq 2\sqrt{a^{3}b^{3}}+ab\Leftrightarrow (\sqrt{ab}-1)(2ab+2\sqrt{ab}+3)\leq 0 \Leftrightarrow ab\leq 1$

Vì $ab\leq 1$ nên:

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}+2015ab\leq 2016$

$\Leftrightarrow 2015\sqrt{ab}(ab-1)+\sqrt{ab}(\sqrt{ab}-1)+2014ab\leq 2014$(luôn đúng)

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=1$

 

Cho a,b là các số dương thỏa mãn $(a+b)^{3}+4ab\leq 12$.Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq 2016$


Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#3 ngocminhxd

ngocminhxd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 98 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Quảng Nam

Đã gửi 02-06-2016 - 12:17

Ta có:

$12\geq (a+b)^{3}+4ab\geq a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)+4ab\geq 4ab(a+b)+4ab\geq 8\sqrt{a^{3}b^{3}}+4ab$

$\Leftrightarrow 3\geq 2\sqrt{a^{3}b^{3}}+ab\Leftrightarrow (\sqrt{ab}-1)(2ab+2\sqrt{ab}+3)\leq 0 \Leftrightarrow ab\leq 1$

Vì $ab\leq 1$ nên:

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}+2015ab\leq 2016$

$\Leftrightarrow 2015\sqrt{ab}(ab-1)+\sqrt{ab}(\sqrt{ab}-1)+2014ab\leq 2014$(luôn đúng)

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=1$

 

Cho a,b là các số dương thỏa mãn $(a+b)^{3}+4ab\leq 12$.Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq 2016$

từ chỗ $ab\leq 1$ tớ k hỉu ạ


#Bé_Nú_Xđ


#4 caobo171

caobo171

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 39 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:bất đẳng thức, lập trình

Đã gửi 02-06-2016 - 12:42

từ chỗ $ab\leq 1$ tớ k hỉu ạ

Chắc cậu băn khoăn cái này . Ta có Bất đẳng thức :

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{ab}-1)(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}{(a+1)(b+1)(1+\sqrt{ab})}\leq 0$





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh