Chủ đề này có 3 trả lời

[mikonnothing]

Cho a,b là các số dương thỏa mãn $(a+b)^{3}+4ab\leq 12$.Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq 2016$

[NTA1907]

Cho a,b là các số dương thỏa mãn $(a+b)^{3}+4ab\leq 12$.Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq 2016$

Ta có:

$12\geq (a+b)^{3}+4ab\geq a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)+4ab\geq 4ab(a+b)+4ab\geq 8\sqrt{a^{3}b^{3}}+4ab$

$\Leftrightarrow 3\geq 2\sqrt{a^{3}b^{3}}+ab\Leftrightarrow (\sqrt{ab}-1)(2ab+2\sqrt{ab}+3)\leq 0 \Leftrightarrow ab\leq 1$

Vì $ab\leq 1$ nên:

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}+2015ab\leq 2016$

$\Leftrightarrow 2015\sqrt{ab}(ab-1)+\sqrt{ab}(\sqrt{ab}-1)+2014ab\leq 2014$(luôn đúng)

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=1$

 

Cho a,b là các số dương thỏa mãn $(a+b)^{3}+4ab\leq 12$.Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq 2016$

[ngocminhxd]

Ta có:

$12\geq (a+b)^{3}+4ab\geq a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)+4ab\geq 4ab(a+b)+4ab\geq 8\sqrt{a^{3}b^{3}}+4ab$

$\Leftrightarrow 3\geq 2\sqrt{a^{3}b^{3}}+ab\Leftrightarrow (\sqrt{ab}-1)(2ab+2\sqrt{ab}+3)\leq 0 \Leftrightarrow ab\leq 1$

Vì $ab\leq 1$ nên:

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}+2015ab\leq 2016$

$\Leftrightarrow 2015\sqrt{ab}(ab-1)+\sqrt{ab}(\sqrt{ab}-1)+2014ab\leq 2014$(luôn đúng)

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=1$

 

Cho a,b là các số dương thỏa mãn $(a+b)^{3}+4ab\leq 12$.Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq 2016$

từ chỗ $ab\leq 1$ tớ k hỉu ạ

[caobo171]

từ chỗ $ab\leq 1$ tớ k hỉu ạ

Chắc cậu băn khoăn cái này . Ta có Bất đẳng thức :

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}\Leftrightarrow \frac{(\sqrt{ab}-1)(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}{(a+1)(b+1)(1+\sqrt{ab})}\leq 0$