Cho a,b là các số dương thỏa mãn $(a+b)^{3}+4ab\leq 12$.Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq 2016$
$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq 2016$
#1
Đã gửi 01-05-2016 - 11:40
#2
Đã gửi 01-05-2016 - 15:54
Cho a,b là các số dương thỏa mãn $(a+b)^{3}+4ab\leq 12$.Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq 2016$
Ta có:
$12\geq (a+b)^{3}+4ab\geq a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)+4ab\geq 4ab(a+b)+4ab\geq 8\sqrt{a^{3}b^{3}}+4ab$
$\Leftrightarrow 3\geq 2\sqrt{a^{3}b^{3}}+ab\Leftrightarrow (\sqrt{ab}-1)(2ab+2\sqrt{ab}+3)\leq 0 \Leftrightarrow ab\leq 1$
Vì $ab\leq 1$ nên:
$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}+2015ab\leq 2016$
$\Leftrightarrow 2015\sqrt{ab}(ab-1)+\sqrt{ab}(\sqrt{ab}-1)+2014ab\leq 2014$(luôn đúng)
Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=1$
Cho a,b là các số dương thỏa mãn $(a+b)^{3}+4ab\leq 12$.Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq 2016$
- Shin Janny, tpdtthltvp, PlanBbyFESN và 5 người khác yêu thích
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
#3
Đã gửi 02-06-2016 - 12:17
Ta có:
$12\geq (a+b)^{3}+4ab\geq a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)+4ab\geq 4ab(a+b)+4ab\geq 8\sqrt{a^{3}b^{3}}+4ab$
$\Leftrightarrow 3\geq 2\sqrt{a^{3}b^{3}}+ab\Leftrightarrow (\sqrt{ab}-1)(2ab+2\sqrt{ab}+3)\leq 0 \Leftrightarrow ab\leq 1$
Vì $ab\leq 1$ nên:
$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}+2015ab\leq 2016$
$\Leftrightarrow 2015\sqrt{ab}(ab-1)+\sqrt{ab}(\sqrt{ab}-1)+2014ab\leq 2014$(luôn đúng)
Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=1$
Cho a,b là các số dương thỏa mãn $(a+b)^{3}+4ab\leq 12$.Chứng minh rằng: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\leq 2016$
từ chỗ $ab\leq 1$ tớ k hỉu ạ
#Bé_Nú_Xđ
#4
Đã gửi 02-06-2016 - 12:42
từ chỗ $ab\leq 1$ tớ k hỉu ạ
Chắc cậu băn khoăn cái này . Ta có Bất đẳng thức :
- ngocminhxd, doraemon123 và HuynhGiao184 thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh