x,y,z dương thỏa x+y+z=1
$\frac{2x-x^{2}}{2x^{2}-2x+1}+\frac{2y-y^{2}}{2y^{2}-2y+1}+\frac{2z-z^{2}}{2z^{2}-2z+1}\leq 3$
x,y,z dương thỏa x+y+z=1
$\frac{2x-x^{2}}{2x^{2}-2x+1}+\frac{2y-y^{2}}{2y^{2}-2y+1}+\frac{2z-z^{2}}{2z^{2}-2z+1}\leq 3$
Bạn nào có tài liệu về BDT hay để thi vào trường chuyên không?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngothithuynhan100620: 02-05-2016 - 06:34
Lấy bất biến ứng vạn biến
Ta có $2x^2-2x+1=(9x^2+1)-7x^2-2x\ge 6x-7x^2-2x=4x-7x^2$
Khi đó $\sum\frac{2x-x^2}{2x^2-2x+1}\le \sum\frac{2x-x^2}{4x-7x^2}=\sum\frac{2-x}{4-7x}$
Ta đi chứng minh:
$\sum\frac{2-x}{4-7x}\le 3\iff \sum\frac{x-2}{7x-4}\le 3\iff \sum\frac{6x-2}{7x-4}\ge 0$
Xét $f(t)=\frac{6t-2}{7t-4}$
Ta có: $f'(t)=\frac{-10}{(7t-4)^2}\le 0$
Từ đây suy ra f nghịch biến trên (0;1) (do x,y,z thuộc (0;1))
Không mất tính tổng quát giả sử: $x\le y\le z=> x\le \frac{1}{3}$
Ta cần CM: $ \sum\frac{6x-2}{7x-4}\ge 0$ hay ta đi chứng minh: $P=f(x)+f(y)+f(z)\ge 0$
Thật vậy:
Do f nghịch biến trên R và $x\le \frac{1}{3}$ nên $P\ge 3f(x)\ge 0$
Từ đây ta có điều phải chứng minh. Dấu = xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 02-05-2016 - 06:32
Bạn nào có tài liệu về BDT hay để thi vào trường chuyên khôn
có quyển sách PP giải toán BĐT và cực trị cho HS8,9 của Vqbc ĐÓ BẠN
Ta có $2x^2-2x+1=(9x^2+1)-7x^2-2x\ge 6x-7x^2-2x=4x-7x^2$
Khi đó $\sum\frac{2x-x^2}{2x^2-2x+1}\le \sum\frac{2x-x^2}{4x-7x^2}=\sum\frac{2-x}{4-7x}$
Ta đi chứng minh:
$\sum\frac{2-x}{4-7x}\le 3\iff \sum\frac{x-2}{7x-4}\le 3\iff \sum\frac{6x-2}{7x-4}\ge 0$
Xét $f(t)=\frac{6t-2}{7t-4}$
Ta có: $f'(t)=\frac{-10}{(7t-4)^2}\le 0$
Từ đây suy ra f nghịch biến trên (0;1) (do x,y,z thuộc (0;1))
Không mất tính tổng quát giả sử: $x\le y\le z=> x\le \frac{1}{3}$
Ta cần CM: $ \sum\frac{6x-2}{7x-4}\ge 0$ hay ta đi chứng minh: $P=f(x)+f(y)+f(z)\ge 0$
Thật vậy:
Do f nghịch biến trên R và $x\le \frac{1}{3}$ nên $P\ge 3f(x)\ge 0$
Từ đây ta có điều phải chứng minh. Dấu = xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh