Chủ đề này có 4 trả lời

[Ego]

Một số nguyên dương $n$ được gọi là có tính chất $L$ nếu với mọi số nguyên dương $a$ tùy ý, thì mệnh đề sau luôn đúng: 'Nếu $n\mid a^{n} - 1$ thì $n^{2}\mid a^{n} - 1$'. Hỏi có tồn tại vô hạn hay không các hợp số có tính chất $L$?

[Visitor]

Một số nguyên dương $n$ được gọi là có tính chất $L$ nếu với mọi số nguyên dương $a$ tùy ý, thì mệnh đề sau luôn đúng: 'Nếu $n\mid a^{n} - 1$ thì $n^{2}\mid a^{n} - 1$'. Hỏi có tồn tại vô hạn hay không các hợp số có tính chất $L$?

Dễ thấy nếu $m,n$ thỏa mãn mà $gcd(m,n)=1$ thì $mn$ cũng thỏa.    (1)

Từ nhận xét trên ta thấy rằng có vẻ như sẽ có vô hạn :v nếu thế thì ta chỉ cần có vô số nguyên tố đều có $L$  (2)

thật vậy: gọi $p$ là 1 số nguyên tố . Giả sử : $p|a^p-1\Rightarrow p|a-1$ ( Cô si)

$\Rightarrow a^p-1= (a-1)(a^{p-1}+a^{p-2}+...+a+1) \vdots p^2$ ( do $a\equiv 1(modp)$ )

suy ra (2) đúng. Từ (1) và (2) ta có đpcm :v

 

Dạo này học hình hơi nhiều -.-

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Visitor: 07-05-2016 - 00:44

[JUV]

Gọi $p$ là 1 số nguyên tố thì nếu $p\mid a^{p}-1$ thì theo định lí Fermat nhỏ thì $p\mid a-1$.Vì vậy nên $p\mid \sum_{i=0}^{p-1}a^{i}$. Từ đó suy ra $p^{2}\mid (a-1)(\sum_{i=0}^{p-1}a^{i})$ hay $p^2\mid a^{p}-1$. Vì vậy mọi số nguyên tố đều có tính chât $L$, suy ra dpcm

[Ego]

#2: $m, n$ thỏa thì $mn$ cũng thỏa. Có lẽ cái này không đúng. Lí do là từ mệnh đề cho ta thấy $a$ là số thay đổi theo $n$ nên kết luận này không đúng.
#3: Đề bài hỏi về hợp số nên mình nghĩ là không đúng.

[Ego]

Lời giải của mình. Xét $p$ là số nguyên tố lẻ. Ta sẽ chứng minh $2p$ có tính chất $L$. Thật vậy, giả sử $2p\mid a^{2p} - 1$
i) Từ đó thấy $a$ lẻ, nên $a^{2p} - 1 \equiv 0\pmod{4}$ và $\gcd(a, p) = 1$
ii) Theo định lý Euler, $a^{p - 1} \equiv 1\pmod{p} \implies a^{2p} \equiv a^{2} \pmod{p}$, mặt khác, $a^{2p} \equiv 1\pmod{p}$ nên $a^{2} \equiv 1\pmod{p}$
Áp dụng bổ đề LTE, ta có $v_{p}(a^{2p} - 1) = v_{p}(a^{2} - 1) + 1 \ge 2$ nên $a^{2p} \equiv 1\pmod{p^{2}}$
iii) Do $p$ lẻ nên $\gcd(p, 2) = 1$ nên $a^{2p} \equiv 1\pmod{4p^{2}}$

Xong.