Cho $m > 2, n$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng $2^{n} + 1$ không chia hết cho $2^{m} - 1$.
Chứng minh rằng $2^{n} + 1$ không chia hết cho $2^{m} - 1$
Bắt đầu bởi Ego, 03-05-2016 - 19:36
#1
Đã gửi 03-05-2016 - 19:36
#2
Đã gửi 03-05-2016 - 20:03
Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: $m>n$. Ta dễ chứng minh được $0<2^n+1<2^m-1$ với lưu ý rằng $0<2^n+1\leq 2^{m-1}+1<2^m-1$ và $m>2$
Trường hợp 2: $m=n$. Dễ thấy bài toán đúng
Trường hợp 3: $m<n$. Đặt $n=km+r$ với $0<r<m$. Ta có:
$2^n+1=2^{mk+r}+1=2^r((2^m)^k-1)+(2^r+1)$
Từ trường hợp 1 ta có ngay bài toán đúng với trường hợp 3
Vậy ta có đpcm
- dtthltvp, hoctrocuaHolmes và tquangmh thích
#3
Đã gửi 03-05-2016 - 22:59
Bạn giải thích rõ hơn được ko vì sao từ trường hợp 1=>trường hợp 3 đúng được?
#4
Đã gửi 04-05-2016 - 06:11
thì từ trường hợp 1 có $2^r+1$ không chia hết cho $2^m-1$ mà $2^r((2^m)^k-1)$ chia hết cho $2^m-1$ nên $2^n+1$ không chia hết cho $2^m-1$
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh