Hỏi có tồn tại tích ba số tự nhiên liên tiếp là lũy thừa của một số nguyên với số mũ không nhỏ hơn $2$?
Tích ba số tự nhiên liên tiếp là lũy thừa của một số nguyên với số mũ không nhỏ hơn $2$
Bắt đầu bởi Ego, 03-05-2016 - 19:38
#3
Đã gửi 03-05-2016 - 20:33
the unknown
-
- Thành viên
-
- 208 Bài viết
Thượng sĩ
Theo em nghĩ bài này nên là: Có tồn tại tích ba số tự nhiên liên tiếp là lũy thừa của một số nguyên dương có số mũ không nhỏ hơn 2 hay không?. Khi đó ta áp dụng một bài toán quen thuộc là: Cho $a;b$ là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là lũy thừa bậc $n$ của một số nguyên dương thì khi đó $a;b$ cũng là lũy thừa bậc $n$ của một số nguyên dương. Giả sử rằng tích ba số nguyên dương liên tiếp là $(n-1)n(n+1)$. Có $(n^2-1,n)=1$ nên $n;n^2-1$ là lũy thừa bậc $k$ của một số nguyên dương. Đặt $n=a^k;n^2-1=b^k\Rightarrow a^{2k}-b^k=1\Rightarrow (a^2-b)(a^{2k-2}+a^{2k-4}b+...+b^{k-1})=1$
Mà $k\geq 2;a,b> 0$ nên $(a^{2k-2}+a^{2k-4}b+...+b^{k-1})$$\geq a^2+b\geq 2> 1$ nên vô lí.
Vậy không tồn tại tích ba số nguyên dương liên tiếp thỏa mãn yêu cầu đề bài.
- Minhnguyenthe333, 01634908884 và tquangmh thích
$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
