Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$X,Y,Z$ thẳng hàng


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 viet nam in my heart

viet nam in my heart

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 242 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Vĩnh Phúc

Đã gửi 04-05-2016 - 23:02

Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm $BC,CA,AB$. Qua $M$ kẻ tiếp tuyến thứ hai với $(I)$ cắt $PN$ tại $X$, các điểm $Y,Z$ được xác định tương tự thuộc $PM$ và $MN$. CMR: $X,Y,Z$ thẳng hàng


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công." Isaac Newton

VMF's Marathon Hình học Olympic


#2 xuantrandong

xuantrandong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Physics class QH Huế
  • Sở thích:Hình học,hẹn hò :)))

Đã gửi 05-05-2016 - 01:00

Mình chỉ mới chứng minh được trong trường hợp $M,N,P$ là trung điểm của $BC,CA,AB$

Mình giải như sau:

Gọi

 $\odot (I)$  là đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$

$\odot (I')$ là đường tròn nội tiếp $\Delta MNP$ 

$V$ là tiếp điểm của $\odot (I')$ và $NP$

$Q$ là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp $\angle A$ và $BC$

$D$ là tiếp điểm của $\odot (I)$ và $BC$

$T$ là giao điểm của $AQ$ và $\odot (I)$ thì dễ chứng minh được $MT$ là tiếp tuyến của  $\odot (I)$

Do $\Delta ABC$ đồng dạng $\Delta MNP$ nên:

$\frac{VN}{VP} = \frac{DB}{DC} =\frac{QC}{QB}$ nên $A$, $V$, $Q$ thẳng hàng

suy ra bốn điểm $A,V,T,Q$ thẳng hàng

ta có $\angle XVT = \angle AVP=\angle AQB=\angle MTQ=\angle VTX$ nên $\Delta XVT$ cân tại $X$ => $XV=XT$

 nên $X$ thuộc trục đẳng phương của  $\odot (I)$ và $\odot (I')$

tương tự $Y$ và $Z$ cũng thuộc trục đẳng phương của   $\odot (I)$ và $\odot (I')$

nên $X, Y, Z$ thẳng hàng

Hình gửi kèm

  • 1.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuantrandong: 05-05-2016 - 10:03


#3 viet nam in my heart

viet nam in my heart

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 242 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Vĩnh Phúc

Đã gửi 05-05-2016 - 11:47

Mình chỉ mới chứng minh được trong trường hợp $M,N,P$ là trung điểm của $BC,CA,AB$

Mình giải như sau:

Gọi

 $\odot (I)$  là đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$

$\odot (I')$ là đường tròn nội tiếp $\Delta MNP$ 

$V$ là tiếp điểm của $\odot (I')$ và $NP$

$Q$ là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp $\angle A$ và $BC$

$D$ là tiếp điểm của $\odot (I)$ và $BC$

$T$ là giao điểm của $AQ$ và $\odot (I)$ thì dễ chứng minh được $MT$ là tiếp tuyến của  $\odot (I)$

Do $\Delta ABC$ đồng dạng $\Delta MNP$ nên:

$\frac{VN}{VP} = \frac{DB}{DC} =\frac{QC}{QB}$ nên $A$, $V$, $Q$ thẳng hàng

suy ra bốn điểm $A,V,T,Q$ thẳng hàng

ta có $\angle XVT = \angle AVP=\angle AQB=\angle MTQ=\angle VTX$ nên $\Delta XVT$ cân tại $X$ => $XV=XT$

 nên $X$ thuộc trục đẳng phương của  $\odot (I)$ và $\odot (I')$

tương tự $Y$ và $Z$ cũng thuộc trục đẳng phương của   $\odot (I)$ và $\odot (I')$

nên $X, Y, Z$ thẳng hàng

Lời giải của mình cũng tương tự như lời giải của bạn. Trường hợp $M,N,P$ là trung điểm là một trường hợp đơn giản nhất cũng như có lời giải đẹp nhất cho bài toán này. Bài này có thể tổng quát không chỉ là trung điểm, chân đường cao mà bài toán còn đúng khi $M,N,P$ bất kỳ nằm trên $AB,BC,CA$ thỏa mãn $AM,BN,CP$ đồng quy tại một điểm. Khi đó $X,Y,Z$ vẫn thẳng hàng nhưng ta có một bài toán khó hơn 


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công." Isaac Newton

VMF's Marathon Hình học Olympic





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh