Cho $\frac{1}{x^{^{2}}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}=1$ Tìm GTNN của $\sum \frac{y^{2}z^{2}}{x(y^{2}+z^{2})}$
Cho $\frac{1}{x^{^{2}}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}=1$ Tìm GTNN của $\sum \frac{y^{2}z^
Bắt đầu bởi ductuMATHER, 06-05-2016 - 22:11
#3
Đã gửi 06-05-2016 - 22:56
hungvutuan
-
- Thành viên mới
-
- 29 Bài viết
Binh nhất
Đặt $\frac{1}{x}=a; \frac{1}{y}=b; \frac{1}{z}=c$. Ta có: $a^2+b^2+c^2=1$ và $\sum \frac{y^2z^2}{x(y^2+z^2)}=\sum \frac{a}{b^2+c^2}=\sum \frac{a}{1-a^2}$. Lại có $\sum \frac{a}{1-a^2}=\sum \frac{a^2}{a(1-a^2)}$. Xét $\left [ a(1-a^2) \right ]^2=\frac{1}2{}.2.a^2(1-a^2)(1-a^2)\leq \frac{1}{2}.(\frac{2}{3})^3=\frac{4}{27}\Rightarrow a(1-a^2)\leq \frac{2}{3\sqrt{3}}\Rightarrow \sum \frac{a^2}{a(1-a^2)}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.1$ Suy ra Đpcm
- ductuMATHER yêu thích
Đường đi khó không khó vì ngăn sông cách núi, mà khó vì lòng người ngại núi e sông!
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
