Chủ đề này có 2 trả lời

[Truong Gia Bao]

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$

Tìm min: $P= \frac{25a^2}{\sqrt{2a^2+7b^2+16ab}}+\frac{25b^2}{\sqrt{2b^2+7c^2+16bc}}+\frac{c^2(3+a)}{a}$

[LuaMi]

Ta dễ chứng minh được: $2a^2+7b^2+16ab\leq (2a+3b)^2$. Tương tự ta cũng có: $2b^2+7c^2+16bc\leq (2b+3c)^2$

Ta có: $P\geq \frac{25a^2}{2a+3b}+\frac{25b^2}{2b+3c}+\frac{9c^2}{3a}+c^2$

$\geq \frac{(5a+5b+3c)^2}{5a+5b+5c}+c^2=5a+5b+3c+c^2=5(3-c)+3c+c^2=(c-1)^2+14\geq 14$

Vậy $min P=14$ tại $a=b=c=1$

[KietLW9]

Ta có: $2a^2+7b^2+16ab-(2a+3b)^2=-2(a-b)^2\leqslant 0 \Rightarrow 2a^2+7b^2+16ab\leqslant (2a+3b)^2\Rightarrow \frac{25a^2}{\sqrt{2a^2+7b^2+16ab}}\geqslant \frac{25a^2}{2a+3b}$ 

Tương tự: $\frac{25b^2}{\sqrt{2b^2+7c^2+16bc}}\geqslant \frac{25b^2}{2b+3c}$

Do đó:  $\frac{25a^2}{\sqrt{2a^2+7b^2+16ab}}+\frac{25b^2}{\sqrt{2b^2+7c^2+16bc}}+\frac{c^2(3+a)}{a}\geqslant \frac{25a^2}{2a+3b}+\frac{25b^2}{2b+3c}+\frac{c^2(3+a)}{a}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: 

$\frac{25a^2}{2a+3b}+(2a+3b)\geqslant 10a\Rightarrow \frac{25a^2}{2a+3b}\geqslant 8a-3b $ 

$\frac{25b^2}{2b+3c}+(2b+3c)\geqslant 10b\Rightarrow \frac{25b^2}{2b+3c}\geqslant 8b-3c $

$\frac{c^2(3+a)}{a}=\frac{3c^2}{a}+c^2=(\frac{3c^2}{a}+3a)+(c^2+1)-3a-1\geqslant 6c+2c-3a-1=8c-3a-1$ 

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: $\frac{25a^2}{2a+3b}+\frac{25b^2}{2b+3c}+\frac{c^2(3+a)}{a}\geqslant 5(a+b+c) -1=14$

Vậy P_min = 14 khi $a = b = c = 1$