Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Hình ảnh

Tuần $2$ tháng $5/2016$: Bài toán phân giác liên quan đến đường cao

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 408 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 08-05-2016 - 19:16

Như vậy thầy Hùng đã đưa ra lời giải bài cũ tại tuần $2$ tháng $5$ và kèm theo đó là bài toán mới. 

 

Bài 38: Cho tam giác $ABC$ với phân giác $AD$ và đường cao $AH$. Các điểm $M,N$ thuộc $AD$ sao cho $BM\perp CA,CN\perp AB$. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $CND$ và $BMD$ theo thứ tự cắt $CA,AB$ tại $E,F$ khác $C,B$. Phân giác các góc $\angle AEB,\angle AFC$ lần lượt cắt đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AD$ tại $P,Q$. Gọi $K,L$ lần lượt là trung điểm $AP,AQ$. Chứng minh rằng $HA$ là phân giác $\angle KHL$.

Post 118.png

Hình vẽ bài toán


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 09-05-2016 - 09:59
Chỉnh sửa


#2 viet nam in my heart

viet nam in my heart

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 235 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Vĩnh Phúc

Đã gửi 09-05-2016 - 12:51

Như vậy thầy Hùng đã đưa ra lời giải bài cũ tại tuần $2$ tháng $5$ và kèm theo đó là bài toán mới. 

 

Bài 38: Cho tam giác $ABC$ với phân giác $AD$ và đường cao $AH$. Các điểm $M,N$ thuộc $AD$ sao cho $BM\perp CA,CN\perp AB$. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $CND$ và $BMD$ theo thứ tự cắt $CA,AB$ tại $E,F$ khác $C,B$. Phân giác các góc $\angle AEB,\angle AFC$ lần lượt cắt đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AD$ tại $P,Q$. Gọi $K,L$ lần lượt là trung điểm $AP,AQ$. Chứng minh rằng $HA$ là phân giác $\angle KHL$.

attachicon.gif Post 118.png

Hình vẽ bài toán

Lời giải của em(Hơi dài)

Trước hết ta chứng minh các bổ đề chính:

Bổ đề $1$:

Cho tam giác $ABC$ Đường cao $AH$. Đường phân giác $AD$. Một đường tròn bất kỳ đi qua $H$ và $D$ cắt đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AD$ tại $P,Q$. Gọi $K,L$ là trung điểm $AP,AQ$. Khi đó $HA$ là phân giác $\angle KHL$.

Bổ đề $2$:

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ có đường phân giác $AD(D \in (O))$. Đường phân giác $\widehat{ABD},\widehat{ACD}$ cắt tiếp tuyến tại $D$ lần lượt tại $P,Q$. Khi đó $AP,AQ$ đẳng giác trong $\widehat{BAC}$  

Bổ đề $3$:

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$ thỏa mãn $AB=AD$. $AB$ cắt $CD$ tại $M$. $AD$ cắt $BC$ tại $N$. Gọi $AH,AK$ lần lượt là đường cao, phân giác của tam giác $AMN$. Gọi $I,J$ lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp góc $B,D$ của tam giác $ABN,ADM$. Khi đó $I,J,H,K$ đồng viên

Quay lại bài toán gốc

Bỏ qua trường hợp đơn giản tam giác $ABC$ cân tại $A$

Trước hết ta có tam giác $ABM$ và $ACN$ đồng dạng nên $\dfrac{AM}{AN}=\dfrac{AB}{AC}$

Lại có: $AF.AB=AM.AD,AE.AC=AN.AD$ nên dễ suy ra $AF=AE$

Bằng biến đổi đại số ta lại có: $BC^2=BF.BA+CE.CA$ nên nếu gọi $S$ là giao điểm của $BE$ và $CF$

Khi đó theo một tính chất quen thuộc suy ra được $AFSE$ nội tiếp

Dễ thấy $P$ là tâm bàng tiếp góc $E$ tam giác $AEB$,  $Q$ là tâm bàng tiếp góc $F$ tam giác $AFC$

Do đó theo bổ đề $3$ thì $PHDQ$ nội tiếp

Từ đây theo bổ đề $1$ thì $HA$ là phân giác $\angle KHL$

Vậy bài toán được chứng minh $\blacksquare$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 09-05-2016 - 19:43

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công." Isaac Newton

VMF's Marathon Hình học Olympic


#3 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 612 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 09-05-2016 - 13:58

Cách của em rất hay đấy, khác hẳn đáp án của thầy :)!



#4 Fr13nd

Fr13nd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:VN
  • Sở thích:toán, đá bóng, bơi

Đã gửi 10-05-2016 - 01:52

AP, BC, đường nối 2 chân đường phân giác từ E,F bài cho đồng quy đúng không ạ, em còn phần đó, tưởng dễ mà khó quá :v


LENG KENG...


#5 babystudymaths

babystudymaths

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 10 THPT chuyên Hùng Vương
  • Sở thích:Hình học, Tổ hợp, Số học, xem và nghe nhiều thứ

Đã gửi 11-05-2016 - 13:05

Em có cách khác. (Em mất cả trưa vẫn chưa tìm được cách up cái hình lên, mong mọi người thông cảm)

Ta có : $\angle FDM=\angle ABM=\angle ACN= \angle EDN\Longrightarrow \angle FDA=\angle EDA.$ Mà $\angle FAD=\angle EAD\Longrightarrow AF=AE, DF=DE. \angle EDF=\angle FDM +\angle EDN = \angle ABM + \angle ACN= 180^\circ- 2\angle BAC. \Longrightarrow \angle DFE=\angle DEF=\angle FAE \Longrightarrow DF, DE$  là  tiếp  tuyến của $D$ với $\odot (AEF)$

$BE$ cắt $\odot (AEF)$ tại $I$ khác $E,FI$ cắt $AE$ tại $C'$

Áp dụng định lý $Pascal$ cho $6$ điểm $\begin{pmatrix} F & A & E\\ E & I & F \end{pmatrix}$

$\Longrightarrow B, D, C'$ thẳng hàng $\Longrightarrow C'\equiv C$

$BC$ cắt $QP$ tại $S,AI$ cắt $BC$ tại $G$.

-Xét $\odot (AEF)\Longrightarrow B,C$ liên hợp với $G\Longrightarrow S$ liên hợp với $G$. 

Mà $SA$ tiếp xúc $\odot (AEF)$ tại $A\Longrightarrow SI$ tiếp xúc với $\odot (AEF)$ tại $I\Longrightarrow S$ thuộc trung trực $AI$.

Goi $EP,FQ$ lần lượt cắt $\odot (AEF)$ tại $X,Y\Longrightarrow X,Y$ thuộc trung trực $AI\Longrightarrow  S,X,Y$ thẳng hàng.

Mặt khác , dễ thấy $PXYQ$ nội tiếp $\Longrightarrow SA^{2}= SX. SY= SP. SQ$

Lấy $Z$ đối xứng của $A$ qua $S$ thì $(Z,A, P, Q) = -1\Longrightarrow ( S, A, K, L) = -1\Longrightarrow H (S, A, K, L) =-1$

Mà $\angle SHA = 90^\circ\Longrightarrow HA$ là phân giác $\angle KHL.\blacksquare$

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 11-05-2016 - 19:22

TLongHV


#6 canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 628 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:toán

Đã gửi 11-05-2016 - 20:44

Như vậy thầy Hùng đã đưa ra lời giải bài cũ tại tuần $2$ tháng $5$ và kèm theo đó là bài toán mới. 

 

Bài 38: Cho tam giác $ABC$ với phân giác $AD$ và đường cao $AH$. Các điểm $M,N$ thuộc $AD$ sao cho $BM\perp CA,CN\perp AB$. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $CND$ và $BMD$ theo thứ tự cắt $CA,AB$ tại $E,F$ khác $C,B$. Phân giác các góc $\angle AEB,\angle AFC$ lần lượt cắt đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AD$ tại $P,Q$. Gọi $K,L$ lần lượt là trung điểm $AP,AQ$. Chứng minh rằng $HA$ là phân giác $\angle KHL$.

attachicon.gifPost 118.png

Hình vẽ bài toán

có cái tứ giác $AEGF$ ($G$ là giao của $BE$ và $CF$ ) thì mình có thêm cách sau

$EP,QF$ lần lượt cắt $AB,AC$ tại $X,Y$

ta có $\frac{BE}{AB}= \frac{EF}{AG}= \frac{CF}{AC}\Rightarrow \frac{BE}{CF}= \frac{AB}{AC}= \frac{DB}{DC}$

nên $\frac{AX}{XB}\frac{DB}{DC}\frac{YC}{YA}= \frac{AE}{BE}\frac{CF}{AF}\frac{DB}{DC}= 1$

nên $BY,CF,AD$ đồng quy $\Rightarrow XY,BC,KL$ đồng quy tại $S$

lại có gọi $I$ trung điểm $XY$ ta có $K,I,X$ thẳng hàng, $L,I,Y$ thẳng hàng

lại có $\frac{KX}{XI}= \frac{KA}{FI},\frac{IY}{YL}= \frac{IE}{AL}$

nên $\frac{KX}{XM}\frac{IY}{YL}\frac{LA}{AK}= 1$

từ đó ta có $M(ASKL)=-1$

$\Rightarrow H(ASKL)=-1$

$\Rightarrow HA$ phân giác $\widehat{KHL}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canhhoang30011999: 11-05-2016 - 20:45


#7 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 612 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 13-05-2016 - 00:36

Bài toán cũng đã đươc dùng tập huấn đội IMO 2016 của Việt Nam, lời giải của Telv Cohl ở đây rất hay và ngắn gọn, do đó tuần sau xin được đăng lời giải của Telv Cohl, sau đây là đáp án và cũng là cách mình tạo ra bài toán này.

 

Bổ đề. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và $P$ nằm trong tam giác sao cho $\angle BPC=180^\circ-\angle A$. $PB,PC$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E,F$. $I,J$ lần lượt là tâm bằng tiếp ứng với đỉnh $B,C$ của tam giác $ABE$ và $ACF$. Gọi $K$ là tâm ngoại tiếp tam giác $AEF$. Chứng minh rằng $KI=KJ$.

 

Bổ đề được dùng trong bài 1 kiểm tra trường đông 2016, sau đây xin đăng lại lời giải.

 

Figure3363.png

 

Giải. Dễ thấy $P$ thuộc $(K)$. Nếu $G$ đối xứng $A$ qua $BC$ thì $G$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $PBC$ nên $PG$ là phân giác $\angle BPC$ hay cũng là $\angle EPF$ do đó $PG$ và $IJ$ cắt nhau tại $R$ thuộc $(K)$. Vậy để chứng minh $KI=KJ$ ta sẽ chứng minh trung điểm $N$ của $RA$ cũng là trung điểm $IJ$, thật vậy. Gọi $S,T$ là trung điểm $PA,EF$ thì $ST$ đi qua trung điểm $M$ của $BC$. Mặt khác tứ giác $AEPF$ nội tiếp nên $BI,CJ$ cắt nhau tại $L$ nằm trên $ST$. Lại có $IJ\parallel BC$ nên $ML$ đi qua trung điểm của $IJ$. Trong tam giác $APG$ dễ thấy $MS$ là đường trung bình nên $MS\parallel RG$ hay $MS$ cũng đi qua trung điểm $N$ của $RA$. Từ đó $N$ cũng là trung điểm $IJ$.

 

Figure3364a.png

 

Giải bài toán. Gọi $(A)$ là đường tròn qua $E,F$ và $R$ đối xứng $A$ qua $H$ ta phải chứng minh $RA$ là phân giác $\angle PRQ$ hay $\frac{AP}{AQ}=\frac{RP}{RQ}$.  Nghịch đảo qua đường tròn $(A)$ thì $B,C,P,Q,R$ theo thứ tự biến thành $U,V,S,T,I$. Trong đó dễ thấy $I$ là tâm ngoại tiếp tam giác $AUV$. Từ đó điều kiện $\frac{AP}{AQ}=\frac{RP}{RQ}$ tương đương với phải chứng minh $IS=IT$. Áp dụng bổ đề vào tam giác cân $AEF$ chú ý với điều kiện đề bài dễ chứng minh được $EU,FV$ cắt nhau trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $AUV$. Từ đó ta có điều phải chứng minh.



#8 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 612 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 15-05-2016 - 14:35

Bài tổng quát như sau 

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến tại $B,C$ của $(O)$ cắt nhau tại $T$. $S$ là một điểm trên cung $BC$ không chứa $A$. $ST$ cắt $BC,CA,AB$ lần lượt tại $P,Q,R$. Gọi $K,L$ lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác $QPC,RPB$. Lấy $M,N$ trên $AS$ sao cho $BM\perp QK,CN\perp RL$. $AS$ cắt $BC$ tại $D$. Đường tròn $(DCN),(DBM)$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E,F$ khác $C,B$. Đường thẳng qua $A$ song song $EF$ lần lượt cắt phân giác ngoài các góc $\angle ACF,\angle ABE$ tại $Y,Z$. $I,J$ là trung điểm $AY,AZ$. $H$ là hình chiếu của $A$ lên $BC$. Chứng minh rằng $HA$ là phân giác $\angle IHJ$.

 

Tuần mới sẽ đăng lời giải bài tổng quát.



#9 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 612 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 15-05-2016 - 15:37

Các bạn hãy tham khảo một phát biểu thú vị cho bài toán gốc và tương tự trên bài tổng quát như sau

 

Cho tam giác $ABC$ với phân giác $AD$ và đường cao $AH$. Các điểm $M,N$ thuộc $AD$ sao cho $BM\perp CA,CN\perp AB$. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $CND,BMD$ theo thứ tự cắt $CA,AB$ tại $E,F$ khác $C,B$. Phân giác các góc $\angle AEB,\angle AFC$ lần lượt cắt đường thẳng qua $A$ vuông góc $AD$ tại $P,Q$. Trung trực $AP,AQ$ cắt $BC$ tại $U,V$. Chứng minh rằng $\angle UAB=\angle VAC$.







1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh


    Google (1)