Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm GTNN của $P=a^{2}+b^{2}+c^{2} + \frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{^{2}}c+c^{2}a}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Tran Hai Dang

Tran Hai Dang

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Đặng Thai Mai
  • Sở thích:WU TANG CLAN

Đã gửi 10-05-2016 - 17:03

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTNN của

$P=a^{2}+b^{2}+c^{2} + \frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{^{2}}c+c^{2}a}$


You can't find Chuck Norris, Chuck Norris find you¯\_(ツ)_/¯ (╯°□°)╯

x_x

Source:Google


#2 Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:$\rho h \gamma S\iota cS$

Đã gửi 10-05-2016 - 17:47

 

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTNN của

$P=a^{2}+b^{2}+c^{2} + \frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{^{2}}c+c^{2}a}$

Ta có: $3(a^2b+b^2c+c^2a)\leqslant (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$

Thật vậy: BĐT$<=>a^3+b^3+c^3+\sum ab^2-2\sum a^2b\geqslant 0<=>a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\geqslant 0$ (luôn đúng)

Áp dụng vào $F$:

$=>F\geqslant a^2+b^2+c^2+\frac{3(ab+bc+ca)}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}=a^2+b^2+c^2+\frac{9-(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}$

 

$=>F\geqslant a^2+b^2+c^2+\frac{9-(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}=(a^2+b^2+c^2+\frac{9}{a^2+b^2+c^2})-\frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)}-\frac{1}{2}$

 

$=>F\geqslant 2.3-\frac{9}{2.3}-\frac{1}{2}=4$

 

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 10-05-2016 - 17:49


#3 toila

toila

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 32 Bài viết

Đã gửi 20-12-2016 - 15:21

 

 

Ta có: $3(a^2b+b^2c+c^2a)\leqslant (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$

Thật vậy: BĐT$<=>a^3+b^3+c^3+\sum ab^2-2\sum a^2b\geqslant 0<=>a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\geqslant 0$ (luôn đúng)

Áp dụng vào $F$:

$=>F\geqslant a^2+b^2+c^2+\frac{3(ab+bc+ca)}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}=a^2+b^2+c^2+\frac{9-(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}$

 

$=>F\geqslant a^2+b^2+c^2+\frac{9-(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}=(a^2+b^2+c^2+\frac{9}{a^2+b^2+c^2})-\frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)}-\frac{1}{2}$

 

$=>F\geqslant 2.3-\frac{9}{2.3}-\frac{1}{2}=4$

 

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

phương pháp tìm điểm rồi làm bài trên thế nào






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh