Chủ đề này có 2 trả lời

[Tran Hai Dang]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTNN của

$P=a^{2}+b^{2}+c^{2} + \frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{^{2}}c+c^{2}a}$

[Minhnguyenthe333]

 

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTNN của

$P=a^{2}+b^{2}+c^{2} + \frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{^{2}}c+c^{2}a}$

Ta có: $3(a^2b+b^2c+c^2a)\leqslant (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$

Thật vậy: BĐT$<=>a^3+b^3+c^3+\sum ab^2-2\sum a^2b\geqslant 0<=>a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\geqslant 0$ (luôn đúng)

Áp dụng vào $F$:

$=>F\geqslant a^2+b^2+c^2+\frac{3(ab+bc+ca)}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}=a^2+b^2+c^2+\frac{9-(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}$

 

$=>F\geqslant a^2+b^2+c^2+\frac{9-(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}=(a^2+b^2+c^2+\frac{9}{a^2+b^2+c^2})-\frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)}-\frac{1}{2}$

 

$=>F\geqslant 2.3-\frac{9}{2.3}-\frac{1}{2}=4$

 

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 10-05-2016 - 17:49

[toila]

 

 

Ta có: $3(a^2b+b^2c+c^2a)\leqslant (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$

Thật vậy: BĐT$<=>a^3+b^3+c^3+\sum ab^2-2\sum a^2b\geqslant 0<=>a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\geqslant 0$ (luôn đúng)

Áp dụng vào $F$:

$=>F\geqslant a^2+b^2+c^2+\frac{3(ab+bc+ca)}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}=a^2+b^2+c^2+\frac{9-(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}$

 

$=>F\geqslant a^2+b^2+c^2+\frac{9-(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}=(a^2+b^2+c^2+\frac{9}{a^2+b^2+c^2})-\frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)}-\frac{1}{2}$

 

$=>F\geqslant 2.3-\frac{9}{2.3}-\frac{1}{2}=4$

 

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

phương pháp tìm điểm rồi làm bài trên thế nào