Cho dãy ${v_n}$ được xác định bởi $v_0=1$ và $v_{n+1}=2^{n+1}-\sum_{k=0}^nv_kv_{n-k}$ với $n\ge 0$. Tìm công thức tổng quát $v_n$ theo n
#1
Đã gửi 10-05-2016 - 23:03
#2
Đã gửi 11-05-2016 - 20:48
Lời giải:
Nói chung là nếu không biết hàm sinh thì không làm được mấy dạng bài kiểu này, hoặc nếu làm được cũng chỉ là đoán mò bằng cảm tính thôi.
Xét khai triển chuỗi luỹ thừa hình thức:
$ f(x) = v_0 + v_1 x+ v_2 x^2 + v_3 x^3+....$
Ta có: $ (f(x))^2 = \left( v_0 + v_1 x+ v_2 x^2 + v_3 x^3+.... \right) \cdot \left( v_0 + v_1 x+ v_2 x^2 + v_3 x^3+.... \right)$
$ = (v_0)^2 + \left( v_0 v_1 + v_1 v_0 \right) x + \left( v_0 v_2 + v_1 v_1 + v_2 v_0 \right) x^2 +....$
$ = 1 + \sum_{n=1}^{ + \infty} \sum_{k=0}^{n} v_k v_{n-k} x^n$
$ \implies x (f(x))^2 = x + \sum_{n=1}^{ + \infty} (2^{n+1} - a_{n+1}) x^{n+1}$
$ \implies x(f(x))^2 = x + \sum_{n=1}^{ + \infty} (2x)^{n+1} - \sum_{n=1}^{ + \infty} a_{n+1} x^{n+1}$
$ \implies x(f(x))^2 = x + \frac{4x^2}{1-2x} - (f(x) -a_0 - a_1 x) = x + \frac{4x^2}{1-2x} - ( f(x) -1-x) $
Suy ra: $x (f(x))^2 = - f(x) + \frac{1}{1-2x} $
Tính ra được nhiệm hàm: $ f(x) = \frac{ -1 + \sqrt{ \frac{1+2x}{1-2x}}}{2x}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 16-05-2016 - 16:19
- perfectstrong, nhungvienkimcuong và tritanngo99 thích
#3
Đã gửi 15-05-2016 - 16:33
Tiếp tục:
Từ đây, ta thấy mấu chốt của bài toán chỉ còn là đi tính hệ số $t^n$ trong khai triển hàm sinh
$g(t) = \sqrt{ \frac{1+t}{1-t}}$, ta có:
$ [t^n] g(t) = [t^n] (1+t) \sqrt{ \frac{1}{1-t^2}} = [t^n] (1+t) \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{4^k} t^{2k} = \frac{1}{ 4^{ [n/2]}} \binom{2 [n/2]}{[n/2]}$
$ \implies [x^n] f \left( \frac{x}{2} \right) = [x^n] \frac{ -1 + \sqrt{ \frac{1-x}{1+x}}}{x} = [x^{n+1}] \left( -1 + \sqrt{ \frac{1-x}{1+x}} \right)= [x^{n+1}] \sqrt{ \frac{1-x}{1+x}} $
$ = \frac{1}{ 4^{ [(n+1)/2]}} \binom{2 [(n+1)/2]}{[(n+1)/2]}$
$ \implies [x^n] f(x) = \frac{2^n}{ 4^{ [(n+1)/2]}} \binom{2 [(n+1)/2]}{[(n+1)/2]}$
Suy ra:
Với $n = 2k$ thì $ v_n = \binom{2k}{k}$
Với $n = 2k+1$ thì $ v_n = \frac{2^{2k+1}}{ 4^{ k+1}} \binom{2k+2}{k+1} = \frac{1}{2} \binom{2k+2}{k+1}$
Bài Toán theo đó được giải quyết hoàn toàn,
Chú ý: Ta không chọn nghiệm hàm $ f(x) = \frac{ -1 - \sqrt{ \frac{1+2x}{1-2x}}}{2x}$ vì chuỗi lũy thừa hình thức của nó hiển nhiên không thỏa mãn: $v_0 =1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 16-05-2016 - 16:20
- perfectstrong, nhungvienkimcuong và tritanngo99 thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: dso
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
Tìm $lim(v_n).$Bắt đầu bởi tritanngo99, 28-09-2016 dso |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Dãy số - Giới hạn →
Với giá trị nào của xBắt đầu bởi tritanngo99, 06-05-2016 dso |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Dãy số - Giới hạn →
Tìm công thức tổng quát $U_n$ theo n.Bắt đầu bởi tritanngo99, 04-05-2016 dso |
|
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh