Chủ đề này có 2 trả lời

[tritanngo99]

Cho dãy ${v_n}$ được xác định bởi $v_0=1$ và $v_{n+1}=2^{n+1}-\sum_{k=0}^nv_kv_{n-k}$ với $n\ge 0$. Tìm công thức tổng quát $v_n$ theo n

[supermember]

Lời giải:

 

Nói chung là nếu không biết hàm sinh thì không làm được mấy dạng bài kiểu này, hoặc nếu làm được cũng chỉ là đoán mò bằng cảm tính thôi.

 

Xét khai triển chuỗi luỹ thừa hình thức:

 

$ f(x) = v_0 + v_1 x+ v_2 x^2 + v_3 x^3+....$

 

Ta có: $ (f(x))^2 = \left( v_0 + v_1 x+ v_2 x^2 + v_3 x^3+.... \right) \cdot  \left( v_0 + v_1 x+ v_2 x^2 + v_3 x^3+.... \right)$

 

$ = (v_0)^2 + \left( v_0 v_1 + v_1 v_0 \right) x + \left( v_0 v_2 + v_1 v_1 + v_2 v_0 \right) x^2 +....$

 

$ = 1 + \sum_{n=1}^{ + \infty} \sum_{k=0}^{n} v_k v_{n-k} x^n$

 

$ \implies   x (f(x))^2 = x + \sum_{n=1}^{ + \infty} (2^{n+1} - a_{n+1}) x^{n+1}$

 

$ \implies  x(f(x))^2 = x + \sum_{n=1}^{ + \infty} (2x)^{n+1} -      \sum_{n=1}^{ + \infty} a_{n+1} x^{n+1}$

 

$ \implies x(f(x))^2 = x + \frac{4x^2}{1-2x}  -  (f(x) -a_0 - a_1 x) = x +  \frac{4x^2}{1-2x}  - ( f(x) -1-x) $

 

Suy ra:  $x (f(x))^2 =  - f(x) + \frac{1}{1-2x} $

 

Tính ra được nhiệm hàm:  $ f(x) = \frac{ -1 + \sqrt{ \frac{1+2x}{1-2x}}}{2x}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 16-05-2016 - 16:19

[supermember]

Tiếp tục:

 

Từ đây, ta thấy mấu chốt của bài toán chỉ còn là đi tính hệ số $t^n$ trong khai triển hàm sinh

 

$g(t) = \sqrt{ \frac{1+t}{1-t}}$, ta có:

 

$ [t^n] g(t)  = [t^n] (1+t)  \sqrt{ \frac{1}{1-t^2}}  = [t^n] (1+t) \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{4^k} t^{2k} = \frac{1}{ 4^{ [n/2]}} \binom{2 [n/2]}{[n/2]}$

 

$ \implies [x^n] f \left( \frac{x}{2} \right) =  [x^n] \frac{ -1 + \sqrt{ \frac{1-x}{1+x}}}{x} = [x^{n+1}] \left( -1 + \sqrt{ \frac{1-x}{1+x}} \right)= [x^{n+1}]   \sqrt{ \frac{1-x}{1+x}} $

 

$ = \frac{1}{ 4^{ [(n+1)/2]}} \binom{2 [(n+1)/2]}{[(n+1)/2]}$

 

$ \implies  [x^n] f(x) = \frac{2^n}{ 4^{ [(n+1)/2]}} \binom{2 [(n+1)/2]}{[(n+1)/2]}$

 

Suy ra:

 

Với $n = 2k$ thì $ v_n = \binom{2k}{k}$

Với $n = 2k+1$ thì  $ v_n = \frac{2^{2k+1}}{ 4^{ k+1}} \binom{2k+2}{k+1}  = \frac{1}{2} \binom{2k+2}{k+1}$

 

Bài Toán theo đó được giải quyết hoàn toàn, 

 

Chú ý: Ta không chọn nghiệm hàm $ f(x) = \frac{ -1 - \sqrt{ \frac{1+2x}{1-2x}}}{2x}$ vì chuỗi lũy thừa hình thức của nó hiển nhiên không thỏa mãn: $v_0 =1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 16-05-2016 - 16:20