Cho x,y>0 t/m: $2x+y+\sqrt{5x^2+5y^2}=10. CM: x^4y\leq 16$
CM: $x^4y\leq 16$
Bắt đầu bởi githenhi512, 12-05-2016 - 00:19
#2
Đã gửi 12-05-2016 - 07:42
tpdtthltvp
-
- Điều hành viên THCS
-
- 831 Bài viết
Trung úy
Cho x,y>0 t/m: $2x+y+\sqrt{5x^2+5y^2}=10. CM: x^4y\leq 16$
Áp dụng BĐT $Cauchy-schwarz$, ta có:
$$5(5x^2+5y^2)=(2^2+1^2)(5x^2+5y^2)\geq (2\sqrt{5}x+\sqrt{5}y)^2=5(2x+y)^2$$
$$\Leftrightarrow \sqrt{5x^2+5y^2}\geq 2x+y$$
Do đó:
$$10=2x+y+\sqrt{5x^2+5y^2}\geq 2x+y+2x+y=x+x+x+x+2y$$
Áp dụng BĐT $Cauchy$, ta có:
$$x+x+x+x+2y\geq 5\sqrt[5]{2x^4y}$$
Nên:
$$10\geq 5\sqrt[5]{2x^4y}$$
$$\Leftrightarrow x^4y\leq 16(\text{đpcm})$$
- NTA1907, githenhi512, hoakute và 1 người khác yêu thích
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
#3
Đã gửi 15-05-2016 - 09:23
Isidia
-
- Thành viên
-
- 74 Bài viết
Hạ sĩ
Áp dụng BĐT
Cauchy−schwarzCauchyschwarz
, ta có:
Tôi nghĩ đây chắc hẳn là BĐT AM-GM (Bất đẳng thức Trung bình cộng và Trung bình nhân).
Chỗ này tôi chưa hiểu lắm:
$5(5x^{2}+5y^{2})$
Số 5 ngoài cùng này là làm sao mà có, xin bạn giải thích thêm để tôi học hỏi.
Phần dưới thì tôi hiểu rồi.
Cám ơn!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Isidia: 15-05-2016 - 09:43
There is no mathematical model that can predict your future or tell you how your life will unfold. All strength and power lies within your soul, and that's all what you need.
#4
Đã gửi 15-05-2016 - 11:09
happyfree
-
- Thành viên
-
- 123 Bài viết
Trung sĩ
Cho x,y>0 t/m: $2x+y+\sqrt{5x^2+5y^2}=10. CM: x^4y\leq 16$
cách khác:
$10=2x+y+\sqrt{5x^2+5y^2}=2x+y+\sqrt{(2x+y)^2+(x-2y)^2}\geq 4x+2y$
Hay $2x+y\leq 5$
suy ra $y\leq 5-2x$ suy ra $x^4y\leq x^4(5x-2)$
ta đi chứng minh $x^4(5-2x)\leq 16 (1)$
biến đổi tương đương ta có : $(x-2)^2(2x^3+3x^2+4x+4) \geq 0$ (luôn đúng với $x >0$)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi happyfree: 15-05-2016 - 11:11
- githenhi512 và Nguyen trang mai thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
