Chủ đề này có 2 trả lời

[Oo Nguyen Hoang Nguyen oO]

1) Tìm tất cả bộ ba số nguyên tố (p,q,r) sao cho $pqr=p+q+r+200$
2) Cho x,y là các số nguyên lớn hơn 1 sao cho $4x^2y^2-7x+7y$ là số chính phương. Chứng minh: $x=y$

[Unstopable]

2) Cho x,y là các số nguyên lớn hơn 1 sao cho $4x^2y^2-7x+7y$ là số chính phương. Chứng minh: $x=y$

 

 

Vì $x,y \in \mathbb{N^{*}}$ nên $x,y\geq 2$

$\Rightarrow 1+7x<2(4x+7)\leq y(4x+7)$

$\Rightarrow 1-4xy<7y-7x$

$CMTT\Rightarrow 7y-7x<4xy+1$

Suy ra: $1-4xy<7y-7x<1+4xy$

            $\Rightarrow 4x^{2}y^{2}+1-4xy<4x^{2}y^{2}+7y-7x<4x^{2}y^{2}+4xy+1$

            $\Leftrightarrow  (2xy-1)^{2}<4x^{2}y^{2}+7y-7x<(2xy+1)^{2}$

Mà $4x^{2}y^{2}+7y-7x$ là số chính phương nên $4x^{2}y^{2}+7y-7x=(2xy)^{2}$

                                                                          $\Rightarrow 4x^{2}y^{2}+7y-7x=4x^{2}y^{2}$

                                                                          $\Rightarrow 7y-7x=0$

                                                                          $\Rightarrow x=y(đpcm)$                                                                            

 

[Minhnguyenthe333]

1) Tìm tất cả bộ ba số nguyên tố (p,q,r) sao cho $pqr=p+q+r+200$

$PT<=>-p+pqr-q=200+r<=>-pr(1-rq)+1-qr=(200+r)r+1$

$<=>(pr-1)(qr-1)=(200+r)r+1$

Mặt khác: giả sử $p\geqslant q\geqslant r\geqslant 1$

$=>1=\frac{1}{pq}+\frac{1}{qr}+\frac{1}{pr}+\frac{200}{pqr}\leqslant \frac{1}{r^2}+ \frac{1}{r^2}+ \frac{1}{r^2}+ \frac{200}{r^2}$

$<=>r^2\leqslant 203<=>r\leqslant 14<=>r\in \{2;3;5;7;11;13\}$

Xét từng giá trị của $r$:

Suy ra bộ ba $(p,q,r)=(41,3,2);(23,2,5)$ và hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 12-05-2016 - 22:21