Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh $P,B,L,S$ đồng viên

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 13-05-2016 - 18:05

Cũng lâu rồi không đăng bài của mình, mai thi rồi nên làm phát cho nó khí thế! :D

Bài toán. Cho tam giác $ABC.\odot (K)$ bất kì qua $B,C$ cắt $AC,AB$ lần lượt tại $E,F.H$ là giao điểm của $BE,CF.L$ là hình chiếu của $H$ lên $AK.$ Trung trực $AL$ cắt $BC,BE$ lần lượt tại $P,S$. Chứng minh rằng $P,B,L,S$ đồng viên.

Post 135.png

Hình vẽ bài toán

Nguồn

P.s



#2 xuantrandong

xuantrandong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Physics class QH Huế
  • Sở thích:Hình học,hẹn hò :)))

Đã gửi 13-05-2016 - 21:23

Đây là lời giải của mình:

Gọi $R$ là giao điểm $HL$ và $BC$. Qua $A$ kẻ đường thằng song song với $BC$ cắt $EF$ và $HL$ tại $Q$ và $U$.

Dễ thẩy $R, E, F, Q$ thằng hàng mà chùm $R(A,H,F,B)=-1$ nên $Q$ là trung điểm $AU$ nên $PQ$ là đường trung trực của $AL$.

$QURP$ là hình bình hành mà $AQ=QU$ nên $AQRP$ là hình bình hành nên $\angle AQF=\angle APC$ nên $\triangle AQF$ đồng dạng $\triangle APC$ mà $\triangle AEF$ đồng dạng $\triangle ABC$ nên $\frac{QE}{EF}=\frac{PB}{BC}$.

Dế chứng minh được $\triangle LEF$ đồng dạng $\triangle LBC$ nên kết hợp điều trên ta có $\Delta LQE$ đồng dạng $\Delta LPB$ suy ra $\Delta LEB$ đồng dạng $\Delta LQP$ nên $LEFQ$ nội tiếp $\Rightarrow \angle LSE=\angle LQE$ nên $\angle LSB=\angle LQR$  

Dễ thấy $LQPR$ là hình thang cân $\Rightarrow \angle LQR=\angle LPR$ vậy $\angle LSB=\angle LPB$ ta có điều phải chứng minh.

Untitled.png

P/s: Mình làm hơi tắt, mấy bạn thông cảm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 13-05-2016 - 21:33


#3 mathslover

mathslover

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết

Đã gửi 14-05-2016 - 08:12

Kéo dài $EF$ cắt $BC$ tại $G$. Áp dụng định lý $Brocard$ thì $HL$ đi qua $G$. Xét $H(AG,FB)= -1$ cắt $AS$ có $AS$ song song $HF$ hay $CF$. Dựng điểm $Miquel$ của tứ giác toàn phần $BCEFAG$ chứng minh được các tứ giác $FHLE, HLCB$ nội tiếp. Vì $HC \parallel AS$ và $GL\parallel PS$ có $\angle LHC=\angle ASP=\angle PSL$. Dùng tứ giác nội tiếp ở trên có $\angle LHC =\angle LBC$ nên $PSBL$ là tứ giác nội tiếp.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 14-05-2016 - 11:53
$\LateX$


#4 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 14-05-2016 - 12:19

Cảm ơn hai bạn đã đóng góp lời giải, sau đây là lời giải của mình! :)

Post 139.png

Hình vẽ bài toán

Theo bài toán quen thuộc thì $F,H,L,E$ đồng viên và $B,H,L,C$ đồng viên. Goi $AD$ là giao điểm của đường đối trung ứng với $A$.

Theo kết quả cũ thì $LD$ là đối trung của tam giác $BLC$.

Ta có: $\triangle LBE\sim \triangle LCF \Longrightarrow \frac{PB}{PC}=\frac{LB^2}{LC^2}=\frac{BE^2}{CF^2}=\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{DB}{DC}$

$\Longrightarrow (PD,BC)=-1\Longrightarrow PA$ là tiếp tuyến của $\odot (ABC)$

Do $P$ nằm trên trục đẳng phương của $\odot (LBC)$ và $\odot (ABC)$ nên $PA^2=PL^2=PB.PC\Longrightarrow P$ nằm trên trung trực $AL.\blacksquare$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 14-05-2016 - 12:20






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh