Chủ đề này có 3 trả lời

[baopbc]

Cũng lâu rồi không đăng bài của mình, mai thi rồi nên làm phát cho nó khí thế!

Bài toán. Cho tam giác $ABC.\odot (K)$ bất kì qua $B,C$ cắt $AC,AB$ lần lượt tại $E,F.H$ là giao điểm của $BE,CF.L$ là hình chiếu của $H$ lên $AK.$ Trung trực $AL$ cắt $BC,BE$ lần lượt tại $P,S$. Chứng minh rằng $P,B,L,S$ đồng viên.

Hình vẽ bài toán

Bài này bắt nguồn từ một bài rất hay của thầy Hùng, tuy không liên quan đến nhau lắm

Nguồn

Bài gốc vẫn đáng được tôn trọng nên tác giả bài này là thầy Hùng thì hợp lí hơn!

P.s

Bài này trông khá quen, nếu đã có ở đâu thì cho mình xin nguồn, hoặc nếu ai giải được thì đăng lời giải lên nhé! Mình cũng chưa có lời giải, mọi người hãy cùng thử sức!

[xuantrandong]

Đây là lời giải của mình:

Gọi $R$ là giao điểm $HL$ và $BC$. Qua $A$ kẻ đường thằng song song với $BC$ cắt $EF$ và $HL$ tại $Q$ và $U$.

Dễ thẩy $R, E, F, Q$ thằng hàng mà chùm $R(A,H,F,B)=-1$ nên $Q$ là trung điểm $AU$ nên $PQ$ là đường trung trực của $AL$.

$QURP$ là hình bình hành mà $AQ=QU$ nên $AQRP$ là hình bình hành nên $\angle AQF=\angle APC$ nên $\triangle AQF$ đồng dạng $\triangle APC$ mà $\triangle AEF$ đồng dạng $\triangle ABC$ nên $\frac{QE}{EF}=\frac{PB}{BC}$.

Dế chứng minh được $\triangle LEF$ đồng dạng $\triangle LBC$ nên kết hợp điều trên ta có $\Delta LQE$ đồng dạng $\Delta LPB$ suy ra $\Delta LEB$ đồng dạng $\Delta LQP$ nên $LEFQ$ nội tiếp $\Rightarrow \angle LSE=\angle LQE$ nên $\angle LSB=\angle LQR$  

Dễ thấy $LQPR$ là hình thang cân $\Rightarrow \angle LQR=\angle LPR$ vậy $\angle LSB=\angle LPB$ ta có điều phải chứng minh.

P/s: Mình làm hơi tắt, mấy bạn thông cảm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 13-05-2016 - 21:33

[mathslover]

Kéo dài $EF$ cắt $BC$ tại $G$. Áp dụng định lý $Brocard$ thì $HL$ đi qua $G$. Xét $H(AG,FB)= -1$ cắt $AS$ có $AS$ song song $HF$ hay $CF$. Dựng điểm $Miquel$ của tứ giác toàn phần $BCEFAG$ chứng minh được các tứ giác $FHLE, HLCB$ nội tiếp. Vì $HC \parallel AS$ và $GL\parallel PS$ có $\angle LHC=\angle ASP=\angle PSL$. Dùng tứ giác nội tiếp ở trên có $\angle LHC =\angle LBC$ nên $PSBL$ là tứ giác nội tiếp.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 14-05-2016 - 11:53
$\LateX$

[baopbc]

Cảm ơn hai bạn đã đóng góp lời giải, sau đây là lời giải của mình!

Hình vẽ bài toán

Theo bài toán quen thuộc thì $F,H,L,E$ đồng viên và $B,H,L,C$ đồng viên. Goi $AD$ là giao điểm của đường đối trung ứng với $A$.

Theo kết quả cũ thì $LD$ là đối trung của tam giác $BLC$.

Ta có: $\triangle LBE\sim \triangle LCF \Longrightarrow \frac{PB}{PC}=\frac{LB^2}{LC^2}=\frac{BE^2}{CF^2}=\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{DB}{DC}$

$\Longrightarrow (PD,BC)=-1\Longrightarrow PA$ là tiếp tuyến của $\odot (ABC)$

Do $P$ nằm trên trục đẳng phương của $\odot (LBC)$ và $\odot (ABC)$ nên $PA^2=PL^2=PB.PC\Longrightarrow P$ nằm trên trung trực $AL.\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 14-05-2016 - 12:20