Bài toán : Cho $x,y,z$ thỏa $x \geq y \geq z $ và $x^2+y^2+z^2=3.$ Tìm GTNN $P=(x+2)(y+2)(z+2)$
Tìm GTNN $P=(x+2)(y+2)(z+2)$
#1
Đã gửi 13-05-2016 - 22:12
- CaptainCuong yêu thích
KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG
MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.
(FRANZ BECKEN BAUER)
ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.
#2
Đã gửi 14-05-2016 - 17:01
Bài toán : Cho $x,y,z$ thỏa $x \geq y \geq z $ và $x^2+y^2+z^2=3.$ Tìm GTNN $P=(x+2)(y+2)(z+2)$
Đặt
$ t = a + b + c $
Dễ dàng nhận ra
$-3\leq t \leq 3 $
nên
$2(ab + bc + ca) = t^2 -3 $
Từ bất đẳng thức :
$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq abc $
ta suy ra được
$ (a+b+c) ^3 - 4(ab+bc+ca)(a+b+c) + 9abc \ge 0 $
hay
$ abc \ge \frac{1}{9} (t^3 -6t) $
Mà
$P = abc +4(a+b+c) +2(ab+bc+ca) + 8 \ge \frac{1}{9} ( t^3 - 6t) + 4t + (t^2-3) + 8 $
$\Rightarrow 9P -9 \ge t^3 + 9t^2 + 30t + 36 = (t+3)(t^2 + 6t + 12 ) \ge 0 $
Do đó $P \ge 1 $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 14-05-2016 - 17:10
- PlanBbyFESN, CaptainCuong, Element hero Neos và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 15-05-2016 - 15:16
Đặt
$ t = a + b + c $
Dễ dàng nhận ra
$-3\leq t \leq 3 $
nên
$2(ab + bc + ca) = t^2 -3 $
Từ bất đẳng thức :
$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq abc $
ta suy ra được
$ (a+b+c) ^3 - 4(ab+bc+ca)(a+b+c) + 9abc \ge 0 $
hay
$ abc \ge \frac{1}{9} (t^3 -6t) $
Mà
$P = abc +4(a+b+c) +2(ab+bc+ca) + 8 \ge \frac{1}{9} ( t^3 - 6t) + 4t + (t^2-3) + 8 $
$\Rightarrow 9P -9 \ge t^3 + 9t^2 + 30t + 36 = (t+3)(t^2 + 6t + 12 ) \ge 0 $
Do đó $P \ge 1 $
Cho tớ hỏi cái dấu bằng xảy ra khi nào vậy ?
KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG
MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.
(FRANZ BECKEN BAUER)
ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.
#4
Đã gửi 16-05-2016 - 14:22
Cho tớ hỏi cái dấu bằng xảy ra khi nào vậy ?
Dấu $"=" $xảy ra khi $x = y =z = -1 $
#5
Đã gửi 17-05-2016 - 14:53
Từ bất đẳng thức :
$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq abc $
Xem lại cái này nhé Huy , 3 số phải như thế nào ??
- quangtq1998 yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh