Chủ đề này có 4 trả lời

[caybutbixanh]

Bài toán : Cho $x,y,z$ thỏa $x \geq y \geq z $ và $x^2+y^2+z^2=3.$ Tìm GTNN $P=(x+2)(y+2)(z+2)$

[quangtq1998]

Bài toán : Cho $x,y,z$ thỏa $x \geq y \geq z $ và $x^2+y^2+z^2=3.$ Tìm GTNN $P=(x+2)(y+2)(z+2)$

Đặt 

 $ t = a + b + c $ 

Dễ dàng nhận ra

$-3\leq t \leq 3 $

nên

$2(ab + bc + ca) = t^2 -3  $

Từ bất đẳng thức : 

 $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq abc $ 

ta suy ra được  

$ (a+b+c) ^3 - 4(ab+bc+ca)(a+b+c) + 9abc \ge 0 $

hay

$ abc \ge \frac{1}{9} (t^3 -6t) $

Mà

$P = abc  +4(a+b+c) +2(ab+bc+ca) + 8  \ge \frac{1}{9} ( t^3 - 6t) + 4t + (t^2-3) + 8 $  

 

$\Rightarrow 9P -9 \ge t^3 + 9t^2  + 30t + 36 = (t+3)(t^2 + 6t + 12 ) \ge 0 $

 

 

Do đó $P \ge 1 $ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 14-05-2016 - 17:10

[caybutbixanh]

Đặt 

 $ t = a + b + c $ 

Dễ dàng nhận ra

$-3\leq t \leq 3 $

nên

$2(ab + bc + ca) = t^2 -3  $

Từ bất đẳng thức : 

 $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq abc $ 

ta suy ra được  

$ (a+b+c) ^3 - 4(ab+bc+ca)(a+b+c) + 9abc \ge 0 $

hay

$ abc \ge \frac{1}{9} (t^3 -6t) $

Mà

$P = abc  +4(a+b+c) +2(ab+bc+ca) + 8  \ge \frac{1}{9} ( t^3 - 6t) + 4t + (t^2-3) + 8 $  

 

$\Rightarrow 9P -9 \ge t^3 + 9t^2  + 30t + 36 = (t+3)(t^2 + 6t + 12 ) \ge 0 $

 

 

Do đó $P \ge 1 $ 

Cho tớ hỏi cái dấu bằng xảy ra khi nào vậy ?

[quangtq1998]

Cho tớ hỏi cái dấu bằng xảy ra khi nào vậy ?

Dấu $"=" $xảy ra khi $x = y =z = -1 $

[Hoang Tung 126]

 

Từ bất đẳng thức : 

 $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq abc $ 

 

Xem lại cái này nhé Huy , 3 số phải như thế nào ??