Đến nội dung

Hình ảnh

$$P=\frac{xy+2z^2}{x^2+xy+2z^2}+\frac{5xy+z^2}{y^2+5xy+z^2}-\sqrt{\frac{x+y}{z}}$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết

Bài toán : Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x,y \geq 1; 0 <z \leq 2.$ Tìm GTLN của :

 

$$P=\frac{xy+2z^2}{x^2+xy+2z^2}+\frac{5xy+z^2}{y^2+5xy+z^2}-\sqrt{\frac{x+y}{z}}$$


KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#2
quangtq1998

quangtq1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 192 Bài viết

Bài toán : Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x,y \geq 1; 0 <z \leq 2.$ Tìm GTLN của :
 
$$P=\frac{xy+2z^2}{x^2+xy+2z^2}+\frac{5xy+z^2}{y^2+5xy+z^2}-\sqrt{\frac{x+y}{z}}$$

 
Đặt

$ a = \frac{x}{z} , b = \frac{y}{z} , t =\sqrt{ a+b}$

 

$ \Rightarrow t \ge 1  ; ab \leq \frac{t^4}{4} $

Thay vào $2-P $
 



$2-P = \frac{a^2}{a^2 + ab + 2} + \frac{b^2}{b^2 + 5ab + 1} + \sqrt{a+b} $

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

 

$ 2-P \ge \frac{(a+b)^2}{(a+b)^2 + 3ab + 3} +\sqrt{a+b} \ge  \frac{4t^4}{7t^4+12} + t $

 

$\Rightarrow \frac{15}{19} - P \ge \frac{133t^5 -85t^4 -48}{19(7t^4 +12)}$

Hay
 



$\frac{15}{19} - P \ge \frac{(t-1)(133t^4 + 48t^3 + 48t^2 + 48t+48}{19(7t^4+12)} \ge 0 $
 

Nên $P \leq \frac{15}{19} $
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 14-05-2016 - 17:31


#3
caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết

 
Đặt   $ a = \frac{x}{z} , b = \frac{y}{z} , t =\sqrt{ a+b}$

 

$ \Rightarrow t \ge 1  ; ab \leq \frac{t^4}{4} $

Thay vào $2-P $
 


$2-P = \frac{a^2}{a^2 + ab + 2} + \frac{b^2}{b^2 + 5ab + 1} + \sqrt{a+b} $

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

 

$ 2-P \ge \frac{(a+b)^2}{(a+b)^2 + 3ab + 3} +\sqrt{a+b} \ge  \frac{4t^4}{7t^4+12} + t $

 

$\Rightarrow \frac{15}{19} - P \ge \frac{133t^5 -85t^4 -48}{19(7t^4 +12)}$

Hay
 

$\frac{15}{19} - P \ge \frac{(t-1)(133t^4 + 48t^3 + 48t^2 + 48t+48}{19(7t^4+12)} \ge 0 $
 

Nên $P \leq \frac{15}{19} $
 

Không biết bạn có thể chỉ ra dấu bằng trong bài trên được không ? Mình làm như sau :

 

Lời giải:

$P=2-(\frac{x^2}{x^2+xy+2z^2}+\frac{y^2}{y^2+5xy+z^2})-\sqrt{\frac{x+y}{z}};\\$

Riêng:

$\frac{x^2}{x^2+xy+2z^2}+\frac{y^2}{y^2+5xy+z^2} \geq \frac{(x+y)^2}{x^2+y^2+3z^2+6xy}=\frac{(x+y)^2}{(x+y)^2+3z^2+4xy} \geq \frac{(x+y)^2}{2(x+y)^2+3z^2};(4xy \leq (x+y)^2)$

Do đó :

$P \leq 2-\frac{t^2}{2t^2+3}-\sqrt{t}=f(t) ;$ với $t=\frac{x+y}{z} \geq 1$

Ta có :$f'(t)=-(\frac{6t}{(2t^2+3)^2}+\frac{1}{2\sqrt{t}}) \leq 0 \forall t\geq 1\\$

$\Rightarrow P \leq f(t) \leq f(1)=\frac{4}{5};\\$
Dấu bằng xảy ra khi $\begin{cases}x=y \\ \dfrac{x+y}{z}=1 \\ x^2+xy+2z^2=y^2+5xy+z^2\end{cases} \Leftrightarrow z=2x=2y$

KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#4
quangtq1998

quangtq1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 192 Bài viết

 

Không biết bạn có thể chỉ ra dấu bằng trong bài trên được không ? Mình làm như sau :

 

Lời giải:

$P=2-(\frac{x^2}{x^2+xy+2z^2}+\frac{y^2}{y^2+5xy+z^2})-\sqrt{\frac{x+y}{z}};\\$

Riêng:

$\frac{x^2}{x^2+xy+2z^2}+\frac{y^2}{y^2+5xy+z^2} \geq \frac{(x+y)^2}{x^2+y^2+3z^2+6xy}=\frac{(x+y)^2}{(x+y)^2+3z^2+4xy} \geq \frac{(x+y)^2}{2(x+y)^2+3z^2};(4xy \leq (x+y)^2)$

Do đó :

$P \leq 2-\frac{t^2}{2t^2+3}-\sqrt{t}=f(t) ;$ với $t=\frac{x+y}{z} \geq 1$

Ta có :$f'(t)=-(\frac{6t}{(2t^2+3)^2}+\frac{1}{2\sqrt{t}}) \leq 0 \forall t\geq 1\\$

$\Rightarrow P \leq f(t) \leq f(1)=\frac{4}{5};\\$
Dấu bằng xảy ra khi $\begin{cases}x=y \\ \dfrac{x+y}{z}=1 \\ x^2+xy+2z^2=y^2+5xy+z^2\end{cases} \Leftrightarrow z=2x=2y$

 

Đặt

$ a = \frac{x}{z} , b = \frac{y}{z} , t =\sqrt{ a+b}$

 

$ \Rightarrow t \ge 1  ; ab \leq \frac{t^4}{4} $

Thay vào $2-P $
 

 

$2-P = \frac{a^2}{a^2 + ab + 2} + \frac{b^2}{b^2 + 5ab + 1} + \sqrt{a+b} $

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

 

 

$ 2-P \ge \frac{(a+b)^2}{(a+b)^2 + 4ab + 3} +\sqrt{a+b} \ge  \frac{t^4}{2t^4+3} + t $

 

$\Rightarrow \frac{4}{5} - P \ge \frac{20t^5-14t^4+30t-36}{10(2t^4+3)}$

Hay
 

 

$\frac{4}{5} - P \ge \frac{(t-1)(10t^4 + 3t^3 + 3t^2 + 3t+18)}{10(2t^4+3)} \ge 0 $
 

Nên $P \leq \frac{4}{5} $

 

Dấu "=" xảy ra chẳng hạn a=b=1,c=2

 

P/s Mình sửa lại giống bạn rồi, mình làm sai bước trên


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 16-05-2016 - 21:29





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh