Chủ đề này có 1 trả lời

[mathstu]

với $k$ là số nguyên dương sao cho: $k\geq 5$ và số nguyên tố $p$ sao cho: $p\geq k$  

cmr: $(2p+1)^3\leq (2k-1)^3 +\sum_{j=k}^{p}(2j-1)^3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathstu: 14-05-2016 - 13:30

[IHateMath]

với $k$ là số nguyên dương sao cho: $k\geq 5$ và số nguyên tố $p$ sao cho: $p\geq k$  

cmr: $(2p+1)^3\leq (2k-1)^3 +\sum_{j=k}^{p}(2j-1)^3$

Đầu tiên ta sẽ cmr $(2n+1)^3\leq 2.(2n-1)^3(\forall n\geq 5)(1)$. Thật vậy, điều này tương đương với $\sqrt[3]{2}.(2n-1)-(2n+1)\geq 0\Leftrightarrow 2(\sqrt[3]{2}-1)n\geq \sqrt[3]{2}+1\Leftrightarrow n\geq \frac{\sqrt[3]{2}+1}{2(\sqrt[3]{2}-1)}\Leftrightarrow n\geq 4,347...$, đúng.

Hiển nhiên với $p=k=5$ ta có $đpcm$ vì khi đó bất đẳng thức cần cm trở thành $(1)$.

Bây giờ, áp dụng bất đẳng thức trên cho $p\geq 7,k\geq 5$ với chú ý rằng $(2q-1)^3\leq 2.[2(q-1)-1]^3(\forall q\geq 6)$ (nếu ta thay $q$ bởi $q+1$ sẽ thu được bất đẳng thức $(1)$) ta có:

$(2p+1)^3\leq 2.(2p-1)^3\leq 2.[2(p-1)-1]^3+(2p-1)^3\leq 2.[2(p-2)-1]^3+[2(p-1)-1]^3+(2p-1)^3\leq...\leq (2(p-(p-k-1))-1)^3+\sum\limits_{j=p-(p-k-1)}^{p}{(2j-1)^3}\leq (2(p-(p-k))-1)^3+\sum\limits_{j=p-(p-k)}^{p}{(2j-1)^3}=(2k-1)^3+\sum\limits_{j=k}^{p}{(2j-1)^3}(đpcm)$.

P/s: Mình nghĩ bất đẳng thức này không xảy ra dấu bằng do $(1)$ không xảy ra dấu bằng. Hơn nữa không cần giả thiết là $p$ nguyên tố mà chỉ cần $p\geq k\geq 5$ là được. Liệu có thể làm chặt hơn không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IHateMath: 14-05-2016 - 17:17