Chủ đề này có 36 trả lời

[PhucLe]

1) Cho $z\geq y\geq x> 0$. Chứng minh: $y(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+\frac{1}{y}(x+z)\leq (x+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})$

2) Cho a, b, c dương và abc=1. Chứng minh: $\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(a+c)}+\frac{1}{c^{2}(b+a)}\geq \frac{3}{2}$

                                                                   và $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$

3) Với a, b, c là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng $a(b-c)^{2}+b(c-a)^{2}+c(a+b)^{2}> a^{3}+b^{3}+c^{3}$

4) Cho a, b, c, d dương.

Chứng minh: $\sqrt{(a+b)(c+d)}+\sqrt{(a+c)(b+d)}+\sqrt{(a+d)(b+c)}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{da}+\sqrt{ac}+\sqrt{bd}$.

5) Chứng minh: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{2}$

6) Cho a, b, c dương. Chứng minh: $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}> 1$

7) Với 0<x<y<z, chứng minh $\frac{x^{2}}{z}<\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}<\frac{z^{2}}{x}$

8) Với a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng $a^{2}(b+c-a)+b^{2}(c+a-b)+c^{2}(a+b-c)\leq 3abc$

9) Với a, b, c dương. Chứng minh:

a) $(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\leq abc$

b) $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ac+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

10) Với a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng:

a) $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

b) $\frac{a^{2}}{b+c-a}+\frac{b^{2}}{a+c-b}+\frac{c^{2}}{a+b-c}\geq a+b+c$

(Mình cần lời giải của 10 bài tập trên cộng thêm với 10 bài trong 3 ảnh gửi kèm, rất gấp, ai giúp mình với, ai biết thì xin nán lại giúp mình - BÀI NÀO LÀM RỒI MÌNH SẼ TÔ ĐỎ HOẶC ĐÁNH DẤU CHỮ "R")

Hình gửi kèm

• 
• 
• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhucLe: 14-05-2016 - 20:22

[ngocminhxd]

Bài 5. Đặt $t=x^{2}-9x+14$
$(x-1)(x-4)(x-5)(x-8)=[(x-1)(x-8)][(x-4)(x-5)]=(x^{2}-9x+8)(x^{2}-9x+20)=(t-6)(t+6)=t^{2}-36\Rightarrow (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+37=t^{2}-36+37=t^{2}+1> 0$

 

Bài 1. Ta có $(a-b)^{2}+(a-1)^{2}+(b-1)^{2}\geq 0\Leftrightarrow 2a^{2}+2b^{2}-2ab-2a-2b+2\geq 0 \Rightarrow 3a^{2}+3b^{2}-2ab-2a-2b+3\geq a^{2}+b^{2}+1\Rightarrow 3a^{2}+3b^{2}+3\geq a^{2}+b^{2}+1 +2a+2b+2ab\Rightarrow 3(a^{2}+b^{2}+1)\geq (a+b+1)^{2}$

 

Bài 2. Ta có $-2\leq a\leq 3=>(a+2)(3-a)\geq 0=>a+6\geq a^{2}$
tương tự ta có $b+6\geq b^{2}$
$c+6\geq c^{2}$
cộng từng vế ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 14-05-2016 - 17:30

[hoduchieu01]

1) Cho $z\geq y\geq x> 0$. Chứng minh: $y(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+\frac{1}{y}(x+z)\leq (x+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})$

2) Cho a, b, c dương và abc=1. Chứng minh: $\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(a+c)}+\frac{1}{c^{2}(b+a)}\geq \frac{3}{2}$

                                                                   và $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$

3) Với a, b, c là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng $a(b-c)^{2}+b(c-a)^{2}+c(a+b)^{2}> a^{3}+b^{3}+c^{3}$

4) Cho a, b, c, d dương.

Chứng minh: $\sqrt{(a+b)(c+d)}+\sqrt{(a+c)(b+d)}+\sqrt{(a+d)(b+c)}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{da}+\sqrt{ac}+\sqrt{bd}$.

5) Chứng minh: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{2}$

6) Cho a, b, c dương. Chứng minh: $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}> 1$

7) Với 0<x<y<z, chứng minh $\frac{x^{2}}{z}<\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}<\frac{z^{2}}{x}$

8) Với a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng $a^{2}(b+c-a)+b^{2}(c+a-b)+c^{2}(a+b-c)\leq 3abc$

9) Với a, b, c dương. Chứng minh:

a) $(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\leq abc$

b) $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ac+a^{2}}\geq a+b+c$

10) Với a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng:

a) $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

b) $\frac{a^{2}}{b+c-a}+\frac{b^{2}}{a+c-b}+\frac{c^{2}}{a+b-c}\geq a+b+c$

(Mình cần lời giải của 10 bài tập trên cộng thêm với 10 bài trong 3 ảnh gửi kèm, rất gấp, ai giúp mình với, ai biết thì xin nán lại giúp mình - BÀI NÀO LÀM RỒI MÌNH SẼ TÔ ĐỎ HOẶC ĐÁNH DẤU CHỮ "R")

Bài 2:

 ta có :

(a-2)(a-1)$\leq 0$ nên$a^{2}-3a+2\leq 0 => a^{2}\leq 3a-2$ 

tương tự b^{2}\leq 3b-2

c^{2}\leq 3c-2

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 3(a+b+c)-6=6$

[hoduchieu01]

bài 6

$\sum \frac{x}{y+z}=\sum \frac{x^{2}}{xy+xz}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{2(xy+yz+zx)}\geq \frac{3(xy+yz+zx)}{2(xy+yz+zx)}=\frac{3}{2}$> 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoduchieu01: 14-05-2016 - 17:55

[hoduchieu01]

Bài 9:

a, đặt

a+b-c=x

b+c-a=y

c+a-b=z

x+y=2b, y+z=2c, z+x=2a

bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 

xyz$\leq \frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{8}$

mà Vế phải $\geq \frac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}}{8}=xyz đpcm$

[hoduchieu01]

Bài 2:

$\sum \frac{1}{a^{2}(b+c)}=\sum \frac{b^{2}c^{2}}{b+c}\geq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{2(a+b+c)}\geq \frac{3abc(a+b+c)}{2(a+b+c)}=\frac{3}{2}$

và

$\sum \frac{x}{y+z}=\sum \frac{x^{2}}{xy+xz}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{2(xy+yz+zx)}\geq \frac{3(xy+yz+zx)}{2(xy+yz+zx)}=\frac{3}{2}$

[hoduchieu01]

Bài 10:

câu a:

đặt b+c-a=x

      a+c-b=y

      a+b-c=z

=> $\frac{a}{b+c-a}=\frac{y+z}{2x}$

bất đẳng thức cần cm tương đương

$\sum \frac{y+z}{2x}\geq 3 <=> \sum \frac{y+z}{x}\geq 6 <=> (\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{z}{x}+\frac{x}{z})+(\frac{z}{y}+\frac{y}{z})\geq 6 <=> đúng$ theo cô si

 

câu b tương tự cách đặt ta có bất đẳng thức tương đương

$\sum \frac{(y+z)^{2}}{4x}\geq \frac{4(x+y+z)^{2}}{4(x+y+z)}=x+y+z=a+b+c$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoduchieu01: 14-05-2016 - 18:22

[hoduchieu01]

bài 5 phá vế phải thu được điều cần chứng minh tương đương

9(a²+b²+c²)$\geq$ 3(a²+b²+c²​)+6(ab+bc+ca)

<=> (a²+b²+c²​) $\geq$  ab+bc +ca nên đúng 

bài này có thế chỉnh dạng tổng quát bậc 3 thành bậc n nhưng chứng minh hơi dài 

[PhucLe]

Bài 2:

$\sum \frac{1}{a^{2}(b+c)} = \sum \frac{b^{2}c^{2}}{b+c}\geq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{2(a+b+c)} \geq \frac{3abc(a+b+c)}{2(a+b+c)}=\frac{3}{2}$

và

$\sum \frac{x}{y+z} = \sum \frac{x^{2}}{xy+xz}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{2(xy+yz+zx)} \geq \frac{3(xy+yz+zx)}{2(xy+yz+zx)}=\frac{3}{2}$

Chỗ này mình không hiểu lắm, phiền bạn nói rõ giúp mình

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhucLe: 14-05-2016 - 20:11

[hoduchieu01]

Chỗ đó bạn hiểu là sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Mình không gõ dấu được mong bạn thông cảm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 15-05-2016 - 01:25
:))

[PhucLe]

Đề bài sai rồi bạn thử $a=1,b=2, c=3$ nó nhỏ hơn đề đúng phải là lớn hơn hoặc bằng (a+b+c)/3

Ừm, sai đề thật rồi, để mình sửa lại đề cho. 

[gemyncanary]

Chỗ này mình không hiểu lắm, phiền bạn nói rõ giúp mình

Cái này dùng bất đẳng thức $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}+\frac{c^{2}}{z}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{x+y+z}$

[gemyncanary]

Bài 1: Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có

$a^{4}+b^{4}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2}\geq \frac{(a+b)^{4}}{8}=\frac{16}{8}=2$

Bài 3:

BĐT $\Leftrightarrow (\frac{m}{2}-n)^{2}+(\frac{m}{2}-p)^{2}+(\frac{m}{2}-q)^{2}+(m-1)^{2}\geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gemyncanary: 14-05-2016 - 20:44

[PhucLe]

Bài 1: Áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có

$a^{4}+b^{4}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2}\geq \frac{(a+b)^{4}}{8}=\frac{16}{8}=2$

Bài này có cách khác không bạn, mình lấy bài này ở phần phép biến đổi tương đương

[ngocminhxd]

1, $a^{2}+1\geq 2a,b^{2}+1\geq 2b =>a^{2}+b^{2}\geq 2$

$a^{4}+1\geq 2a^{2},b^{4}+1\geq 2a^{2}=>a^{4}+b^{4}\geq 2$

[tranductucr1]

1) Cho $z\geq y\geq x> 0$. Chứng minh: $y(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+\frac{1}{y}(x+z)\leq (x+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})$

2) Cho a, b, c dương và abc=1. Chứng minh: $\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(a+c)}+\frac{1}{c^{2}(b+a)}\geq \frac{3}{2}$

                                                                   và $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$

3) Với a, b, c là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng $a(b-c)^{2}+b(c-a)^{2}+c(a+b)^{2}> a^{3}+b^{3}+c^{3}$

4) Cho a, b, c, d dương.

Chứng minh: $\sqrt{(a+b)(c+d)}+\sqrt{(a+c)(b+d)}+\sqrt{(a+d)(b+c)}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{da}+\sqrt{ac}+\sqrt{bd}$.

5) Chứng minh: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{2}$

6) Cho a, b, c dương. Chứng minh: $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}> 1$

7) Với 0<x<y<z, chứng minh $\frac{x^{2}}{z}<\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}<\frac{z^{2}}{x}$

8) Với a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng $a^{2}(b+c-a)+b^{2}(c+a-b)+c^{2}(a+b-c)\leq 3abc$

9) Với a, b, c dương. Chứng minh:

a) $(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\leq abc$

b) $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ac+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

10) Với a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng:

a) $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

b) $\frac{a^{2}}{b+c-a}+\frac{b^{2}}{a+c-b}+\frac{c^{2}}{a+b-c}\geq a+b+c$

(Mình cần lời giải của 10 bài tập trên cộng thêm với 10 bài trong 3 ảnh gửi kèm, rất gấp, ai giúp mình với, ai biết thì xin nán lại giúp mình - BÀI NÀO LÀM RỒI MÌNH SẼ TÔ ĐỎ HOẶC ĐÁNH DẤU CHỮ "R")

bài 1 . Bất đẳng thức viết lại thành $(z-y)(\frac{1}{x}-\frac{x}{yz}-\frac{1}{y} \geq (z-y)(\frac{1}{x}-\frac{2}{y}) \geq (z-y)\frac{(2y-x)}{2xy} \geq 0$ dấu = xãy ra khi z=y

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranductucr1: 14-05-2016 - 21:06

[ngocminhxd]

tớ có cách giải bài 2 khác nek

$\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(a+c)}+\frac{1}{c^{2}(b+a)}$

đặt $a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z} =>abc=\frac{1}{xyz}=1$

$x+y= c(a+b),y+z=a(b+c),z=b(a+c)$

$\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(a+c)}+\frac{1}{c^{2}(b+a)}$ $=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$ (cái này đã cmđ)

[ngocminhxd]

1. $y(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})+\frac{1}{y}(x+z)\leq (x+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})<=>y\frac{x+z}{xz}+\frac{x+z}{y}\leq \frac{(x+z)^{2}}{xz}=>\frac{y}{xz}+\frac{1}{y}\leq \frac{x+z}{xz}=>yx+yz-xz-y^{2}\geq 0 => (y-x)(z-y)\geq 0$ (luôn đúng do $z\geq y\geq x> 0)$

[tranductucr1]

1) Cho $z\geq y\geq x> 0$. Chứng minh: $y(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+\frac{1}{y}(x+z)\leq (x+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})$

2) Cho a, b, c dương và abc=1. Chứng minh: $\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(a+c)}+\frac{1}{c^{2}(b+a)}\geq \frac{3}{2}$

                                                                   và $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$

3) Với a, b, c là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng $a(b-c)^{2}+b(c-a)^{2}+c(a+b)^{2}> a^{3}+b^{3}+c^{3}$

4) Cho a, b, c, d dương.

Chứng minh: $\sqrt{(a+b)(c+d)}+\sqrt{(a+c)(b+d)}+\sqrt{(a+d)(b+c)}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{da}+\sqrt{ac}+\sqrt{bd}$.

5) Chứng minh: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{2}$

6) Cho a, b, c dương. Chứng minh: $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}> 1$

7) Với 0<x<y<z, chứng minh $\frac{x^{2}}{z}<\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}<\frac{z^{2}}{x}$

8) Với a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng $a^{2}(b+c-a)+b^{2}(c+a-b)+c^{2}(a+b-c)\leq 3abc$

9) Với a, b, c dương. Chứng minh:

a) $(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\leq abc$

b) $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ac+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

10) Với a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng:

a) $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

b) $\frac{a^{2}}{b+c-a}+\frac{b^{2}}{a+c-b}+\frac{c^{2}}{a+b-c}\geq a+b+c$

(Mình cần lời giải của 10 bài tập trên cộng thêm với 10 bài trong 3 ảnh gửi kèm, rất gấp, ai giúp mình với, ai biết thì xin nán lại giúp mình - BÀI NÀO LÀM RỒI MÌNH SẼ TÔ ĐỎ HOẶC ĐÁNH DẤU CHỮ "R")

3. bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) \geq 0$ điều này hiển nhiên đúng với a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác

[ngocminhxd]

http://diendantoanho...mns-abc-frac12/ ai vào giải giúp bài hình với ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocminhxd: 14-05-2016 - 21:20