Đến nội dung

Hình ảnh

Bài tập Chứng minh bất đẳng thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 36 trả lời

#21
tranductucr1

tranductucr1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

1) Cho $z\geq y\geq x> 0$. Chứng minh: $y(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+\frac{1}{y}(x+z)\leq (x+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})$

2) Cho a, b, c dương và abc=1. Chứng minh: $\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(a+c)}+\frac{1}{c^{2}(b+a)}\geq \frac{3}{2}$

                                                                   và $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$

3) Với a, b, c là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng $a(b-c)^{2}+b(c-a)^{2}+c(a+b)^{2}> a^{3}+b^{3}+c^{3}$

4) Cho a, b, c, d dương.

Chứng minh: $\sqrt{(a+b)(c+d)}+\sqrt{(a+c)(b+d)}+\sqrt{(a+d)(b+c)}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{da}+\sqrt{ac}+\sqrt{bd}$.

5) Chứng minh: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{2}$

6) Cho a, b, c dương. Chứng minh: $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}> 1$

7) Với 0<x<y<z, chứng minh $\frac{x^{2}}{z}<\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}<\frac{z^{2}}{x}$

8) Với a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng $a^{2}(b+c-a)+b^{2}(c+a-b)+c^{2}(a+b-c)\leq 3abc$

9) Với a, b, c dương. Chứng minh:

a) $(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\leq abc$

b) $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ac+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

10) Với a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng:

a) $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

b) $\frac{a^{2}}{b+c-a}+\frac{b^{2}}{a+c-b}+\frac{c^{2}}{a+b-c}\geq a+b+c$

(Mình cần lời giải của 10 bài tập trên cộng thêm với 10 bài trong 3 ảnh gửi kèm, rất gấp, ai giúp mình với, ai biết thì xin nán lại giúp mình - BÀI NÀO LÀM RỒI MÌNH SẼ TÔ ĐỎ HOẶC ĐÁNH DẤU CHỮ "R")

4. $\sqrt{(a+b)(c+d)} \geq \sqrt {ac}+\sqrt{bd}$( bất đẳng thức C-S) tương tự với hai cái còn lại rồi cộng lại 
8. bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) \leq abc$ đây là một kết quả kinh điển 
9b .$\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}= \sum a-\sum \frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2} \geq \sum a -\sum \frac{ab(a+b)}{3ab} \geq \sum a-\sum \frac{2a}{3} =\sum \frac{a}{3}$


Để trở thành người phi thường, tôi không cho phép bản thân tầm thường

Roronoa Zoro- One piece

Liên lạc với tôi qua https://www.facebook...0010200906065  


#22
hoduchieu01

hoduchieu01

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết
Sao cau 8 lai tuong duong

#23
LeThanhPhuc

LeThanhPhuc

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

Vì không thể đánh dấu các bài đã làm rồi, mình xin ghi lại các bài tập chưa làm để các bạn tiện theo dõi (mình sẽ đánh số 1, 2, 3 ...):

1. Cho $0<x<y<z$. Chứng minh rằng: $\frac{x^{2}}{z}<\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}<\frac{z^{2}}{x}$

2. Cho $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $a^{2004}+b^{2004}+c^{2004}\geq a^{2003}+b^{2003}+c^{2003}$

3. Chứng minh với mọi $x$, ta có: $x^{6}-x^{3}+x^{2}-x+1>0$

4. Chứng minh rằng: $(a^{10}+b^{10})(a^{2}+b^{2})\geq (a^{8}+b^{8})(a^{4}+b^{4})$

5. Chứng minh rằng với mọi số dương $a, b, c, d$ ta có $\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+d^{2}}+\frac{d^{3}}{d^{2}+a^{2}}\geq \frac{a+b+c+d}{2}$

"Mình rất cảm ơn các bạn đã giúp đỡ mình hoàn thành được 15/20 bài tập. Chỉ còn 5 bài tập, mình cần phải hoàn thành xong tất trong chiều nay. Chiều nay là lần cuối cùng mình lên VMF - mình phải tạm xa diễn đàn một thời gian để lên Tân An ôn thi tuyển 10."


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LeThanhPhuc: 15-05-2016 - 16:32


#24
LeThanhPhuc

LeThanhPhuc

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

5 bài đó tớ bí nặng

bạn giải được bài nào trong 5 bài trên? giúp mình với?



#25
gemyncanary

gemyncanary

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 90 Bài viết

Bài này có cách khác không bạn, mình lấy bài này ở phần phép biến đổi tương đương

Cách khác thì biến đổi tương đương

$a^{2}+b^{2}+2ab\doteq 4$ (1)

$a^{2}+b^{2}-2ab\geq 0$   (2)

(1)(2)$\Rightarrow a^{2}+b^{2}\geq 2$

Tương tự $a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4}\geq 4$ (3)

           $a^{4}+b^{4}-2a^{2}b^{2}=0$ (4)

Từ (3)(4) $\Rightarrow a^{4}+b^{4}\geq 2$



#26
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

Bài 4: BĐT tương đương $a^{12}+a^{10}b^{2}+a^{2}b^{10}+b^{12}-a^{12}-a^{8}b^{4}-a^{4}b^{8}-b^{12}\geq 0\Leftrightarrow a^{8}b^{2}(a^{2}-b^{2})-a^{2}b^{8}(a^{2}-b^{2})\geq 0\Leftrightarrow a^{2}b^{2}(a^{2}-b^{2})(a^{6}-b^{6})\geq 0\Leftrightarrow a^{2}b^{2}(a^{2}-b^{2})^{2}(a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4})\geq 0$ luôn đúng với mọi số thực a, b



#27
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

Bài 3: Ta có $x^{6}-x^{3}+\frac{1}{4}+x^{2}-x+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}> 0\Leftrightarrow \left ( x^{3}-\frac{1}{2} \right )^{2}+\left ( x-\frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{1}{2}> 0$



#28
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

Bài 5: Ta có $\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}=a-\frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}$

Áp dụng BĐT CauChy ta có $a^{2}+b^{2}\geq 2ab\Rightarrow \frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{b}{2}\Rightarrow a-\frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq a -\frac{b}{2}$

Tương tự cộng lại ta có đpcm



#29
LeThanhPhuc

LeThanhPhuc

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

Bài 4

 

Bài 3

 

Bài 5

Thầy giải dùm em nốt 2 bài còn lại, xong rồi thầy khóa topic này lại luôn cũng được.



#30
ngocminhxd

ngocminhxd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 98 Bài viết

1.$\frac{x^{2}}{z}< \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}<=>x^{2}(x+y+z)< (x^{2}+y^{2}+z^{2})z <=>x^{2}z+y^{2}z+z^{3}-x^{3}-x^{2}y-x^{z}> 0<=>x^{2}(z-y)+z(y^{2}-x^{2})+z^{3}-x^{3}> 0$ (luôn đúng  do đ.k bài cho

vế còn lại làm tương tự (toàn là phép biến đổi tương đương )


#Bé_Nú_Xđ


#31
ngocminhxd

ngocminhxd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 98 Bài viết

thày giúp e 2 bài này với được không ạ em đang giải nửa chừng http://diendantoanho...mns-abc-frac12/

http://diendantoanho...ố-chính-phương/


#Bé_Nú_Xđ


#32
tranductucr1

tranductucr1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

1) Cho $z\geq y\geq x> 0$. Chứng minh: $y(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+\frac{1}{y}(x+z)\leq (x+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})$

2) Cho a, b, c dương và abc=1. Chứng minh: $\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(a+c)}+\frac{1}{c^{2}(b+a)}\geq \frac{3}{2}$

                                                                   và $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$

3) Với a, b, c là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng $a(b-c)^{2}+b(c-a)^{2}+c(a+b)^{2}> a^{3}+b^{3}+c^{3}$

4) Cho a, b, c, d dương.

Chứng minh: $\sqrt{(a+b)(c+d)}+\sqrt{(a+c)(b+d)}+\sqrt{(a+d)(b+c)}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{da}+\sqrt{ac}+\sqrt{bd}$.

5) Chứng minh: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{2}$

6) Cho a, b, c dương. Chứng minh: $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}> 1$

7) Với 0<x<y<z, chứng minh $\frac{x^{2}}{z}<\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}<\frac{z^{2}}{x}$

8) Với a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng $a^{2}(b+c-a)+b^{2}(c+a-b)+c^{2}(a+b-c)\leq 3abc$

9) Với a, b, c dương. Chứng minh:

a) $(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\leq abc$

b) $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ac+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

10) Với a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng:

a) $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

b) $\frac{a^{2}}{b+c-a}+\frac{b^{2}}{a+c-b}+\frac{c^{2}}{a+b-c}\geq a+b+c$

(Mình cần lời giải của 10 bài tập trên cộng thêm với 10 bài trong 3 ảnh gửi kèm, rất gấp, ai giúp mình với, ai biết thì xin nán lại giúp mình - BÀI NÀO LÀM RỒI MÌNH SẼ TÔ ĐỎ HOẶC ĐÁNH DẤU CHỮ "R")

 

1) Cho $z\geq y\geq x> 0$. Chứng minh: $y(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+\frac{1}{y}(x+z)\leq (x+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})$

2) Cho a, b, c dương và abc=1. Chứng minh: $\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(a+c)}+\frac{1}{c^{2}(b+a)}\geq \frac{3}{2}$

                                                                   và $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$

3) Với a, b, c là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng $a(b-c)^{2}+b(c-a)^{2}+c(a+b)^{2}> a^{3}+b^{3}+c^{3}$

4) Cho a, b, c, d dương.

Chứng minh: $\sqrt{(a+b)(c+d)}+\sqrt{(a+c)(b+d)}+\sqrt{(a+d)(b+c)}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{da}+\sqrt{ac}+\sqrt{bd}$.

5) Chứng minh: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{2}$

6) Cho a, b, c dương. Chứng minh: $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}> 1$

7) Với 0<x<y<z, chứng minh $\frac{x^{2}}{z}<\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}<\frac{z^{2}}{x}$

8) Với a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng $a^{2}(b+c-a)+b^{2}(c+a-b)+c^{2}(a+b-c)\leq 3abc$

9) Với a, b, c dương. Chứng minh:

a) $(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\leq abc$

b) $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ac+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

10) Với a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng:

a) $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

b) $\frac{a^{2}}{b+c-a}+\frac{b^{2}}{a+c-b}+\frac{c^{2}}{a+b-c}\geq a+b+c$

(Mình cần lời giải của 10 bài tập trên cộng thêm với 10 bài trong 3 ảnh gửi kèm, rất gấp, ai giúp mình với, ai biết thì xin nán lại giúp mình - BÀI NÀO LÀM RỒI MÌNH SẼ TÔ ĐỎ HOẶC ĐÁNH DẤU CHỮ "R")

3. áp dụng bất đẳng thức Amgm cho 2004 t có  $a^{2004}+a^{2004}+...+a^{2004}+1 \geq 2004 \sqrt[2004]{a^{2004*2003}}=2004a^{2003}$ 
Từ đó dễ dàng có được $2003(a^{2004}+b^{2004}+c^{2004}) +3 \geq 2004(a^{2003}+b^{2003}+c^{2003}) \geq 2003(a^{2003}+b^{2003}+c^{2003})+3 $
vì  từ amgm dễ dàng chứng minh được $a^{2003}+b^{2003}+c^{2003} \geq 3$

từ đó ta có $2003(a^{2004}+b^{2004}+c^{2004}) \geq 2003(a^{2003}+b^{2003}+c^{2003})$ 
=>...


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranductucr1: 15-05-2016 - 17:56

Để trở thành người phi thường, tôi không cho phép bản thân tầm thường

Roronoa Zoro- One piece

Liên lạc với tôi qua https://www.facebook...0010200906065  


#33
Panhhhcute

Panhhhcute

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

9B$BDT <=> \sum (a(a^2 + ab + b^2)- a^2b - ab^2))/(a^2 + ab + b^2) <=> \sum a- (ab(a+b))/(a^2 + ab + b^2)
Ta có: (a-b)^2 >=0 <=> a^2 + ab + b^2 >= 3ab <=> -(ab(a+b))/(a^2 + ab + b^2) >= -(a+b)/3
VT <=> \sum a - (a+b)/3 = (a+b+c)/3 (dpcm)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Panhhhcute: 15-05-2016 - 21:33


#34
cyndaquil

cyndaquil

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết

9B

http://toan.hoctainh...g-trinh-toan-10



#35
Panhhhcute

Panhhhcute

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

$Cho a+b=2.  Cm a^4 + b^4 >= 2
Ta có: a^4 + b^4 = a^4/1 + b^4/1 >= (a^2+b^2)^2/2 (BDT schwarz)
Mà 2(a^2 +b^2) >= (a+b)^2 <=> (a^2 + b^2)>= ((a+b)^2)/2 = 4/2 = 2 <=> (a^2 + b^2)^2 >= 4
<=> VT >= 4/2 = 2 (dpcm)
DTXR <=> a=b=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Panhhhcute: 15-05-2016 - 21:54


#36
hoduchieu01

hoduchieu01

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

sa

 

4. $\sqrt{(a+b)(c+d)} \geq \sqrt {ac}+\sqrt{bd}$( bất đẳng thức C-S) tương tự với hai cái còn lại rồi cộng lại 
8. bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) \leq abc$ đây là một kết quả kinh điển 
9b .$\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}= \sum a-\sum \frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2} \geq \sum a -\sum \frac{ab(a+b)}{3ab} \geq \sum a-\sum \frac{2a}{3} =\sum \frac{a}{3}$

sao câu 8 lại tương đương



#37
tranductucr1

tranductucr1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

sa

 

sao câu 8 lại tương đương

lỗi của mình trình bày hơi tắt :P :P bất đẳng thức được viết lại thành 

$a^3+b^3+c^3+3abc \geq \sum a^2(b+c)$ 

$\Leftrightarrow abc \geq \sum a^2(b+c)-a^3-b^3-c^3-2abc$

$\Leftrightarrow abc \geq a^2(b+c-a)+bc(b+c-a)-b^3-c^3-abc+a(b^2+c^2)$

$\Leftrightarrow abc \geq a^2(b+c-a)+bc(b+c-a)-(b+c)(b^2+c^2+2bc-3bc)+a(b^2+c^2+2bc-2bc)-abc$

$\Leftrightarrow abc \geq a^2(b+c-a)+bc(b+c-a)-(b+c)^3+3bc(b+c)+a(b+c)^2-2abc-abc $

$\Leftrightarrow abc \geq a^2(b+c-a)+bc(b+c-a)-(b+c)^{2}*(b+c-a)+3bc(b+c-a) $

$\Leftrightarrow abc \geq (b+c-a)(a^2+bc-(b+c)^2+3bc) $

$\Leftrightarrow abc \geq (b+c-a)(a^2-(b-c)^2)$

$\Leftrightarrow abc \geq (b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)$


Để trở thành người phi thường, tôi không cho phép bản thân tầm thường

Roronoa Zoro- One piece

Liên lạc với tôi qua https://www.facebook...0010200906065  





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh