1) Cho $z\geq y\geq x> 0$. Chứng minh: $y(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+\frac{1}{y}(x+z)\leq (x+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})$
2) Cho a, b, c dương và abc=1. Chứng minh: $\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(a+c)}+\frac{1}{c^{2}(b+a)}\geq \frac{3}{2}$
và $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geq \frac{3}{2}$
3) Với a, b, c là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng $a(b-c)^{2}+b(c-a)^{2}+c(a+b)^{2}> a^{3}+b^{3}+c^{3}$
4) Cho a, b, c, d dương.
Chứng minh: $\sqrt{(a+b)(c+d)}+\sqrt{(a+c)(b+d)}+\sqrt{(a+d)(b+c)}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{da}+\sqrt{ac}+\sqrt{bd}$.
5) Chứng minh: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{2}$
6) Cho a, b, c dương. Chứng minh: $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}> 1$
7) Với 0<x<y<z, chứng minh $\frac{x^{2}}{z}<\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}<\frac{z^{2}}{x}$
8) Với a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng $a^{2}(b+c-a)+b^{2}(c+a-b)+c^{2}(a+b-c)\leq 3abc$
9) Với a, b, c dương. Chứng minh:
a) $(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\leq abc$
b) $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ac+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$
10) Với a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng:
a) $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$
b) $\frac{a^{2}}{b+c-a}+\frac{b^{2}}{a+c-b}+\frac{c^{2}}{a+b-c}\geq a+b+c$
(Mình cần lời giải của 10 bài tập trên cộng thêm với 10 bài trong 3 ảnh gửi kèm, rất gấp, ai giúp mình với, ai biết thì xin nán lại giúp mình - BÀI NÀO LÀM RỒI MÌNH SẼ TÔ ĐỎ HOẶC ĐÁNH DẤU CHỮ "R")
4. $\sqrt{(a+b)(c+d)} \geq \sqrt {ac}+\sqrt{bd}$( bất đẳng thức C-S) tương tự với hai cái còn lại rồi cộng lại
8. bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) \leq abc$ đây là một kết quả kinh điển
9b .$\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}= \sum a-\sum \frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2} \geq \sum a -\sum \frac{ab(a+b)}{3ab} \geq \sum a-\sum \frac{2a}{3} =\sum \frac{a}{3}$