Chủ đề này có 8 trả lời

[hoctrocuaHolmes]

Cho tam thức bậc hai $P(x)=ax^2+bx+c$ ($a$ khác 0) thỏa mãn điều kiện $P(x^2-2)=P(x^2)-2$.Chứng minh:$P(x)=P(-x)$ với mọi $x$

[superpower]

Cho tam thức bậc hai $P(x)=ax^2+bx+c$ ($a$ khác 0) thỏa mãn điều kiện $P(x^2-2)=P(x^2)-2$.Chứng minh:$P(x)=P(-x)$ với mọi $x$

Cách 1: Ta có $P(x^2-2) = a(x^2-2)^2 + b(x^2-2) + c = ax^4 +(b-4a)x^2 +4a-2b+c$

                       $P(x^2) -2 = ax^4 + bx^2 +c -2 $

Mà $P(x^2-2) = P(x^2)-2 => b-4a=b => a=0 $ vô lý

Vậy không có $P(x)$ thỏa

 

Cách 2: Ta có $P(-1)=P(1) -2 $

         $a-b+c = a+b+c -2<=>b=1 $

Do đó $P(-x) = ax^2 - bx + c $ khác $P(x) $

Do đó đề sai

[hoctrocuaHolmes]

Cách 1: Ta có $P(x^2-2) = a(x^2-2)^2 + b(x^2-2) + c = ax^4 +(b-4a)x^2 +4a-2b+c$

                       $P(x^2) -2 = ax^4 + bx^2 +c -2 $

Mà $P(x^2-2) = P(x^2)-2 => b-4a=b => a=0 $ vô lý

Vậy không có $P(x)$ thỏa

 

Cách 2: Ta có $P(-1)=P(1) -2 $

         $a-b+c = a+b+c -2<=>b=1 $

Do đó $P(-x) = ax^2 - bx + c $ khác $P(x) $

Do đó đề sai

Bài này mình lấy từ 1 đề thi giải mãi thấy không ra nên đưa lên nhờ mọi người sửa lại đề cho đúng Bạn sửa đề giúp mình được không?

Spoiler

Bạn xem lại lời giải của bạn chứ mình thấy tính toán mấy chỗ bị sai đấy  

[superpower]

Bài này mình lấy từ 1 đề thi giải mãi thấy không ra nên đưa lên nhờ mọi người sửa lại đề cho đúng Bạn sửa đề giúp mình được không?

Spoiler

Bạn xem lại lời giải của bạn chứ mình thấy tính toán mấy chỗ bị sai đấy  

Sai chỗ nào bạn, mình không thấy

[O0NgocDuy0O]

Bài này mình lấy từ 1 đề thi giải mãi thấy không ra nên đưa lên nhờ mọi người sửa lại đề cho đúng Bạn sửa đề giúp mình được không?

Spoiler

Bạn xem lại lời giải của bạn chứ mình thấy tính toán mấy chỗ bị sai đấy  

 

Sai chỗ nào bạn, mình không thấy

Sửa thế này nhé: $P(x^{2}-2)=P^{2}(x)-2.$ Đề thi chuyên Toán Năng Khiếu $2005-2006.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 15-05-2016 - 16:52

[superpower]

 

 

 

Sửa thế này nhé: $P(x^{2}-2)=P^{2}(x)-2.$ Đề thi chuyên Toán Năng Khiếu $2005-2006.$

 

Bài này thì cũng làm tương tự trên thôi

C1: Đồng nhất hệ số

$ax^4 +(b-4a)x^2 +4a-2b+c =a^2x^4 + 2abx^3 + (b+2ac)x^2+2bcx + c^2-2$

Khi đó đồng nhất hệ số, ta được $2ab=0 => b=0 => P(x)=P(-x) $ 

[hoctrocuaHolmes]

Bài này thì cũng làm tương tự trên thôi

C1: Đồng nhất hệ số

$ax^4 +(b-4a)x^2 +4a-2b+c =a^2x^4 + 2abx^3 + (b+2ac)x^2+2bcx + c^2-2$

Khi đó đồng nhất hệ số, ta được $2ab=0 => b=0 => P(x)=P(-x) $ 

Đúng là sau khi sửa đề thì bài này đã trở nên dễ dàng hơn

À bạn đã ghi cách 1 sao lại không ghi luôn cách 2,3,... để mọi người cùng tham khảo nhỉ  

[O0NgocDuy0O]

Đúng là sau khi sửa đề thì bài này đã trở nên dễ dàng hơn

À bạn đã ghi cách 1 sao lại không ghi luôn cách 2,3,... để mọi người cùng tham khảo nhỉ

Cách khác: Từ $GT$ ta có: $\triangleright P(-1)=P^{2}(1)-2=P^{2}(-1)-2\Rightarrow P^{2}(1)=P^{2}(-1). (1)$

Tương tự thu được: $P^{2}(2)=P^{2}(-2). (2)$

$$(1)\Rightarrow (a+b+c)^{2}=(a-b+c)^{2}\Rightarrow b(a+c)=0.$$

$$(2)\Rightarrow b(4a+c)=0.$$

Từ đó: $3ab=0$. Mà $a$ khác $0$ nên $b=0.$

Suy ra: $$P(x)=ax^{2}+c=a(-x)^{2}+c=P(-x).$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 17-05-2016 - 11:38

[JUV]

Sau khi sửa đề thi ta có được 1 cách giải ngắn gọn:

$P^2(x)-2=P(x^2-2)=P((-x)^2-2)=P^2(-x)-2 \Rightarrow (P(x)-P(-x))(P(x)+P(-x))=0$

Dễ dàng kiểm tra được $P(x)+P(-x)$ không đồng nhất $0$ nên $P(x)-P(-x)=0$, hay$P(x)=P(-x)$