cho x,y,z là các số thực ko âm thỏa x+y+z=1 tìm min
$\frac{1}{\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{y^{2}-yz+z^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{z^{2}-zx+x^{2}}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 15-05-2016 - 21:22
cho x,y,z là các số thực ko âm thỏa x+y+z=1 tìm min
$\frac{1}{\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{y^{2}-yz+z^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{z^{2}-zx+x^{2}}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 15-05-2016 - 21:22
cho x,y,z là các số thực ko âm thỏa x+y+z=1 tìm min
$\frac{1}{\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{y^{2}-yz+z^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{z^{2}-zx+x^{2}}}$
Ta chỉ cần chứng minh
\[\frac{1}{\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{y^{2}-yz+z^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{z^{2}-zx+x^{2}}} \geqslant \frac{6}{x+y+z}.\]
Giả sử $z=\min\{x,y,z\}$ thì $y^2-yz+z^2 \leqslant y^2,\;z^2-zx+x^2 \leqslant x^2$ và $x+y+z \geqslant x+y,$ cho nên
\[\frac{1}{\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{y^{2}-yz+z^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{z^{2}-zx+x^{2}}} \geqslant \frac{1}{\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}.\]
Do đó ta chỉ cần chỉ ra được
\[\frac{1}{\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geqslant \frac{6}{x+y},\]
hay là
\[\frac{x+y}{\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \geqslant 4,\]
hoặc
\[\frac{x+y}{2\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}}+\frac{x+y}{2\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}}+\frac{x^2-xy+y^2}{xy} \geqslant 3.\]
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
\[\frac{x+y}{2\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}}+\frac{x+y}{2\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}}+\frac{x^2-xy+y^2}{xy} \geqslant 3\sqrt[3]{\frac{(x+y)^2}{4(x^{2}-xy+y^{2})}\cdot\frac{x^2-xy+y^2}{xy}} \geqslant 3.\]
Bài toán được chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 19-05-2016 - 22:53
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh