Chủ đề này có 1 trả lời

[Gachdptrai12]

cho x,y,z là các số thực ko âm thỏa x+y+z=1  tìm min 

$\frac{1}{\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{y^{2}-yz+z^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{z^{2}-zx+x^{2}}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 15-05-2016 - 21:22

[Nguyenhuyen_AG]

cho x,y,z là các số thực ko âm thỏa x+y+z=1  tìm min 

$\frac{1}{\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{y^{2}-yz+z^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{z^{2}-zx+x^{2}}}$

 

Ta chỉ cần chứng minh

\[\frac{1}{\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{y^{2}-yz+z^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{z^{2}-zx+x^{2}}} \geqslant \frac{6}{x+y+z}.\]

Giả sử $z=\min\{x,y,z\}$ thì $y^2-yz+z^2 \leqslant y^2,\;z^2-zx+x^2 \leqslant x^2$ và $x+y+z \geqslant x+y,$ cho nên

\[\frac{1}{\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{y^{2}-yz+z^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{z^{2}-zx+x^{2}}} \geqslant \frac{1}{\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}.\]

Do đó ta chỉ cần chỉ ra được

\[\frac{1}{\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geqslant \frac{6}{x+y},\]

hay là

\[\frac{x+y}{\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \geqslant 4,\]

hoặc

\[\frac{x+y}{2\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}}+\frac{x+y}{2\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}}+\frac{x^2-xy+y^2}{xy} \geqslant 3.\]

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

\[\frac{x+y}{2\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}}+\frac{x+y}{2\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}}+\frac{x^2-xy+y^2}{xy} \geqslant 3\sqrt[3]{\frac{(x+y)^2}{4(x^{2}-xy+y^{2})}\cdot\frac{x^2-xy+y^2}{xy}} \geqslant 3.\]

Bài toán được chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 19-05-2016 - 22:53