Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

3 - Mở rộng: Đánh giá từng biến


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 22 trả lời

#1 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 15-05-2016 - 19:59

Đây sẽ là các bài toán nối tiếp chuyên đề: Đánh giá từng biến, đã đăng tại:
 
 
 Mở đầu:
 
 Bài toán 1: (13/05)
 
 
 Cho x, y và z là ba số thực thuộc đoạn $\left [ 0; 2 \right ]$, thoả mãn:
 
$x+y+z=3.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$3\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 5.$
 
 
 Bài toán 2: (14/05)
 
 
 Cho x, y và z là ba số thực thuộc đoạn $\left [ 0; 2 \right ]$, thoả mãn:
 
$x+y+z=3.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$3\leq x^{3}+y^{3}+z^{3}\leq 9.$
 
 
 Bài toán 3: (15/05)
 
 
 Cho x, y và z là ba số thực thuộc đoạn $\left [ 0; 2k \right ]$, thoả mãn:
 
$x+y+z=3k.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$3k^{n}\leq x^{n}+y^{n}+z^{n}\leq k^{n}+(2k)^{n}$,
 
 với n là số tự nhiên lớn hơn 1 và k là số thực dương cho trước.


#2 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 15-05-2016 - 20:02

 :))



#3 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 16-05-2016 - 17:20

 Bài toán 4:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực thuộc đoạn $\left [ 0; 2 \right ]$, thoả mãn:

 
$x+y+z=3.$
 
 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xy+yz+zx}.$
 
 
 P/S:
 
 Có thành viên nào có hướng tiếp cận cho 3 bài toán 1, 2 và 3 chưa?
 
 :)


#4 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 17-05-2016 - 07:04

 Bài toán 5:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực thuộc đoạn $\left [ 0; 2 \right ]$, thoả mãn:

 
$x+y+z=3.$
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{2}{11-\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )}+\frac{xy+yz+zx}{x^{3}+y^{3}+z^{3}}.$
 
 
 P/S:
 
 Có thành viên nào có lời giải cho 2 bài toán 1 và 4 chưa ạ?


#5 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 18-05-2016 - 07:14

 Bài toán 6:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực thuộc đoạn $\left [ 0; 2 \right ]$, thoả mãn:

 
$x+y+z=3.$
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{2\left [ 18-\left ( x^{4}+y^{4}+z^{4} \right ) \right ]}{11-\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )}-\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{xy+yz+zx+7}.$
 
 
 P/S:
 
 Có thành viên nào có hướng tiếp cận cho 2 bài toán 2 và 5 chưa ạ?
 
 :))


#6 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 19-05-2016 - 08:42

 Bài toán 7:

 
 
Cho x, y và z là ba số thực thuộc đoạn $\left [ 1; 3 \right ]$, thoả mãn:
 
$x+y+z=6.$
 
 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}+12xyz+72}{xy+yz+zx}-\frac{1}{2}xyz.$
 
 
 P/S:
 
 Có thành viên nào có hướng tiếp cận cho 2 bài toán 3 và 6 chưa ạ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MathematicsNMN2016: 19-05-2016 - 08:43


#7 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 19-05-2016 - 09:47

 

 Bài toán 7:

 
 
Cho x, y và z là ba số thực thuộc đoạn $\left [ 1; 3 \right ]$, thoả mãn:
 
$x+y+z=6.$
 
 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 
$P=\frac{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}+12xyz+72}{xy+yz+zx}-\frac{1}{2}xyz.$
 
 
 P/S:
 
 Có thành viên nào có hướng tiếp cận cho 2 bài toán 3 và 6 chưa ạ?

 

Bài 7 là đề thi ĐH năm 2015 bài này đặt về t=ab+bc+ca và từ đk ta tìm được [11;12] và hàm theo f(t) là hàm đồng biến  :icon6:



#8 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 20-05-2016 - 06:43

 Bài toán 8:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn:

 
 1)
 
$\left\{\begin{matrix}x\geq 4 \\ y\geq 3 \\ z\geq 1 \end{matrix}\right.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 26.$
 
 2)
 
$\left\{\begin{matrix}x\geq 4 \\ x+y\geq 7 \\ x+y+z=8 \end{matrix}\right.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 26.$
 
 3)
 
$\left\{\begin{matrix}0\leq z\leq y\leq x\leq 4 \\ x+y\leq 7 \\ x+y+z=8 \end{matrix}\right.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 26.$
 
 
 P/S:
 
 Có thành viên nào có lời giải cho 2 bài toán 4 và 7 chưa ạ?
 
  :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MathematicsNMN2016: 22-05-2016 - 08:55


#9 toannguyenebolala

toannguyenebolala

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 432 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bờ bên kia...
  • Sở thích:Toán học, Vật Lí, Phim, Âm Nhạc, Bóng đá...

Đã gửi 20-05-2016 - 07:36

 

Đây sẽ là các bài toán nối tiếp chuyên đề: Đánh giá từng biến, đã đăng tại:
 
 
 Mở đầu:
 
 Bài toán 1: (13/05)
 
 
 Cho x, y và z là ba số thực thuộc đoạn $\left [ 0; 2 \right ]$, thoả mãn:
 
$x+y+z=3.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$3\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 5.$
 
 
 Bài toán 2: (14/05)
 
 
 Cho x, y và z là ba số thực thuộc đoạn $\left [ 0; 2 \right ]$, thoả mãn:
 
$x+y+z=3.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$3\leq x^{3}+y^{3}+z^{3}\leq 9.$
 
 
 Bài toán 3: (15/05)
 
 
 Cho x, y và z là ba số thực thuộc đoạn $\left [ 0; 2k \right ]$, thoả mãn:
 
$x+y+z=3k.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$3k^{n}\leq x^{n}+y^{n}+z^{n}\leq k^{n}+(2k)^{n}$,
 
 với n là số tự nhiên lớn hơn 1 và k là số thực dương cho trước.

 

VÌ không có thời gian nên chém tặng topic bài 1 vậy :))))))

$x^2+y^2+z^2\geq 2x-1+2y-1+2z-1=6-3=3 (Cauchy)$

Chứng minh vế còn lại.

Theo giả thiết của đề bài, ta có: 

$(2-x)(2-y)(2-z)\geq 0<=>2(xy+yz+zx)\geq 4x+4y+4z-8+xyz\geq 4$

Lại có $(x+y+z)^2=9=>x^2+y^2+z^2\leq 5$ 

Hoàn tất chứng minh.


"Đừng khóc, Alfred! Anh cần có đủ nghị lực để chết ở tuổi hai mươi"


#10 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 20-05-2016 - 15:44

VÌ không có thời gian nên chém tặng topic bài 1 vậy :))))))

$x^2+y^2+z^2\geq 2x-1+2y-1+2z-1=6-3=3 (Cauchy)$

Chứng minh vế còn lại.

Theo giả thiết của đề bài, ta có: 

$(2-x)(2-y)(2-z)\geq 0<=>2(xy+yz+zx)\geq 4x+4y+4z-8+xyz\geq 4$

Lại có $(x+y+z)^2=9=>x^2+y^2+z^2\leq 5$ 

Hoàn tất chứng minh.

 

 Bạn hãy thử giải bài toán 2 và bài toán tổng quát theo hướng tiếp cận đó thử xem?

 

 :)



#11 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 21-05-2016 - 07:25

 Bài toán 9:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực thoả mãn:

 
$\left\{\begin{matrix}x\geq 4 \\ y\geq 5 \\ z\geq 6 \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=90 \end{matrix}\right.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$x+y+z\geq 16.$
 
 
 P/S:
 
 Bài toán 8 là một bài thú vị.
 
  :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MathematicsNMN2016: 22-05-2016 - 08:54


#12 minhrongcon2000

minhrongcon2000

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 21-05-2016 - 07:50

 

 Bài toán 9:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực thoả mãn:

 
$\left\{\begin{matrix}
x\geq 4 \\ 
y\geq 5 \\ 
z\geq 6 \\ 
x^{2}+y^{2}+z^{2}=90 
\end{matrix}\right.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$x+y+z\geq 16.$
 
 
 P/S:
 
 Bài toán 8 là một bài thú vị.
 
  :)

 

Bạn ơi! Gõ latex lại xíu :D


$\lim_{x \to \infty } Love =+\infty$


#13 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 21-05-2016 - 14:56

Bạn ơi! Gõ latex lại xíu :D

 

 Cảm ơn bạn, bạn có biết cách để định dạng lại phù hợp không, mình gõ như thế ở Mathscope thì được?

 

 :)



#14 minhrongcon2000

minhrongcon2000

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 21-05-2016 - 15:46

 Cảm ơn bạn, bạn có biết cách để định dạng lại phù hợp không, mình gõ như thế ở Mathscope thì được?

 

  :)

Thay vì xuống dòng, bạn có thể viết là \left\{\begin{matrix} x\geq 4 \\ y\geq 5 \\ z\geq 6 \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=90 \end{matrix}\right. Nhớ cho vào dấu $ là được. Bài của bạn được sửa lại như sau

Cho $x,y,z$ là ba số thực thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix} x\geq 4 \\ y\geq 5 \\ z\geq 6 \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=90 \end{matrix}\right.$

Chứng minh $x+y+z \geq 16$


$\lim_{x \to \infty } Love =+\infty$


#15 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 22-05-2016 - 08:58

 Bài toán 10:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực không âm, thoả mãn:

 
$\left\{\begin{matrix}x\geq 4 \\ x+y\geq 7 \\ x+y+z=8 \end{matrix}\right.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$x^{n}+y^{n}+z^{n}\geq 4^{n}+3^{n}+1$,
 
 với $n\in \mathbb{N}, n> 1.$
 
 
 P/S:
 
 Có thành viên nào có lời giải cho 2 bài toán 6 và 9 chưa ạ?
 
 *minhrongcon2000: Cảm ơn bạn, mình đã sửa những lỗi ở trên
 
 :)


#16 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 23-05-2016 - 07:59

 Bài toán 11:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực, thoả mãn:

 
$\left\{\begin{matrix}0\leq z\leq y\leq x\leq 4 \\ x+y\leq 7 \\ x+y+z=8 \end{matrix}\right.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$x^{n}+y^{n}+z^{n}\leq 4^{n}+3^{n}+1$,
 
 với $n\in \mathbb{N}, n> 1.$
 
 
 P/S:
 
 Có thành viên nào có cách tiếp cận cho bài toán tổng quát của bài toán 8.2 ở trên chưa (Bài toán 10)?


#17 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 24-05-2016 - 10:36

 Bài toán 12:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực, thoả mãn:

 
$\left\{\begin{matrix}0\leq x\leq y\leq z\leq 1 \\ 3x+2y+z\leq 4 \end{matrix}\right.$
 
 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 
$P=3x^{2}+2y^{2}+z^{2}.$
 
 
 P/S:
 
 Có thành viên nào có hướng tiếp cận cho ý tổng quát của bài toán 8.3 (Bài toán 11) chưa ạ?


#18 tpdtthltvp

tpdtthltvp

    Trung úy

  • Thành viên
  • 831 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boldsymbol{\text{CVP}}$

Đã gửi 24-05-2016 - 11:28

 

 Bài toán 12:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực, thoả mãn:

 
$\left\{\begin{matrix}0\leq x\leq y\leq z\leq 1 \\ 3x+2y+z\leq 4 \end{matrix}\right.$
 
 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 
$P=3x^{2}+2y^{2}+z^{2}.$
 

 

 

 

Áp dụng khai triển $Abel$, ta có:

$$3x^2+2y^2+z^2=3x.x+2y.y+z.z=z(z-y)+(2y+z)(y-x)+x(3x+2y+z)\leq z-y+3(y-x)+4x=x+2y+z=\frac{1}{3}\left [ (3x+2y+z)+(4y+2z) \right ]\leq \frac{1}{3}(4+6)=\frac{10}{3}$$

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=\frac{1}{3},y=z=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 24-05-2016 - 11:28

$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$

$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$


#19 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 25-05-2016 - 09:04

Bài toán 13:
 
 
 Cho x, y và z là ba số thực, thoả mãn:
 
$\left\{\begin{matrix}0\leq x\leq y\leq z\leq 1 \\ 3x+2y+z\leq 4 \end{matrix}\right.$
 
 Chứng minh rằng:
 
$3x^{n}+2y^{n}+z^{n}\leq 3\left [ \left ( \frac{1}{3} \right )^{n}+1 \right ]$,
 
 với n là số tự nhiên lớn hơn 1.
 
 
 P/S:
 
 Đây là bài toán tổng quát của Bài toán 12.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MathematicsNMN2016: 25-05-2016 - 09:06


#20 MathematicsNMN2016

MathematicsNMN2016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Làm một điều gì đó khác biệt.

    Step by Step

Đã gửi 26-05-2016 - 08:13

 Bài toán 14:

 

 

 Cho x, y và z là ba số thực lớn hơn hoặc bằng $\sqrt{3}$, thoả mãn:

 
$x+y+z=6.$
 
 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 
$P=6\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )-\left ( x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2} \right )$
 
 
 P/S:
 
 Có thành viên nào có lời giải cho bài toán 13 chưa?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MathematicsNMN2016: 26-05-2016 - 08:13





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh