Chủ đề này có 3 trả lời

[hoctrocuaHolmes]

Cho bảng ô vuông $2017×2017$ ta điền một số thực bất kì thuộc đoạn $[-10,10]$ sao cho tổng $4$ số trong hình vuông con $2×2$ bất kì bằng $0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các số trên bảng.

[JUV]

Sr vì không biết up hình nên lời giải không được chi tiết lắm:

Đầu tiên là xét đường chéo chính của bảng, đánh số các cột từ $1$ đến $2017$ từ trái sang phải. Gọi $A$ là tập các ô là giao của đường chéo chính với các cột lẻ, $B$ là tập các ô là giao của đường chéo chính với các cột chẵn ( Cột lẻ là các cột được đánh số lẻ, cột chẵn là cột được đánh số chẵn). Gọi $f(A)$ là tổng các số được viết trên các ô thuộc tập $A$, $f(B)$ là tổng các số được viết trên các ô thuộc tập $B$. Từ chỗ này có thể lập luận logic hoặc chứng minh bằng quy nạp rằng tổng các số trên bảng chính bằng $f(A)-f(B)$. Vì các số trên bảng thuộc khoảng $\left [ -10;10 \right ]$ nên $f(A)\geq -10\left | A \right |$, $f(B)\leq 10\left | B \right |$, vì vậy tổng các số trên bảng nhỏ nhất bằng $f(A)-f(B)\geq -10(\left | A \right |+\left | B \right |)=-20170$. Vậy giá trị nhỏ nhất là -20170, chẳng hạn khi tất cả các cột lẻ đều các các ô được viết số -10, các ô còn lại viết số 10

[hoctrocuaHolmes]

Sr vì không biết up hình nên lời giải không được chi tiết lắm:

Đầu tiên là xét đường chéo chính của bảng, đánh số các cột từ $1$ đến $2017$ từ trái sang phải. Gọi $A$ là tập các ô là giao của đường chéo chính với các cột lẻ, $B$ là tập các ô là giao của đường chéo chính với các cột chẵn ( Cột lẻ là các cột được đánh số lẻ, cột chẵn là cột được đánh số chẵn). Gọi $f(A)$ là tổng các số được viết trên các ô thuộc tập $A$, $f(B)$ là tổng các số được viết trên các ô thuộc tập $B$. Từ chỗ này có thể lập luận logic hoặc chứng minh bằng quy nạp rằng tổng các số trên bảng chính bằng $f(A)-f(B)$. Vì các số trên bảng thuộc khoảng $\left [ -10;10 \right ]$ nên $f(A)\geq -10\left | A \right |$, $f(B)\leq 10\left | B \right |$, vì vậy tổng các số trên bảng nhỏ nhất bằng $f(A)-f(B)\geq -10(\left | A \right |+\left | B \right |)=-20170$. Vậy giá trị nhỏ nhất là -20170, chẳng hạn khi tất cả các cột lẻ đều các các ô được viết số -10, các ô còn lại viết số 10

Nhờ bạn chứng minh giúp mình khúc đó được không?

[JUV]

Chứng minh bằng quy nạp: Với bảng vuông $(2n+1)\times (2n+1)$ mà tổng 4 số trong bảng $2\times 2$ bằng 0 thì tổng các số trên bảng chính bằng $f(A)-f(B)$

Khi n=1, có tổng 4 số trong bảng $2\times 2$ ở góc trên bảng bằng 0 nên tổng các số trên bảng bằng tổng các số trong các ô được tô cam

Tuy nhiên tổng 3 số trong 3 ô được tô cam ở góc lại bằng số đối của số được viết ở giữa bảng vì tổng 4 số đó bằng 0, nên tổng các số trên bảng bằng tổng các số tô cam trừ đi số được tô xanh

Số đó chính là $f(A)-f(B)$, vì vậy mệnh đề đúng với $n=1$

Giả sứ mệnh đề đúng với $n=k$, ta chứng minh mệnh đề đúng với $n=k+1$

Xét bảng $(2n+3)\times (2n+3)$ sau (xét với n=6):

Chia bảng thành 2 hình chữ nhật $2\times 2n$ được tô màu xanh, 2 hình vuông $3\times 3$ tô màu vàng và $(2n+1)\times (2n+1)$ tô màu trắng có 1 ô chung được tô màu lam. Vì 2 hình chữ nhật có thể chia được thành các bảng $2\times 2$ nên tổng các số trong 2 hình chữ nhật đó là 0. Vì vậy tổng các số trên bảng bằng tổng các số trong 2 hình vuông trừ đi số được viết trong hình vuông màu lam.Vì theo giả thiết quy nạp, tổng các số trong bảng $(2n+1)\times (2n+1)$ bằng tổng các số được viết trên đường chéo chính mà thuộc cột lẻ trừ đi các số còn lại trên đường chéo hay bằng tổng các số được tô màu xanh trừ đi tổng các số tô màu đỏ :

Vì vậy theo trường hợp n=1 thì tổng các số trên 2 hình vuông trừ đi số nằm trong ô màu lam chính bằng tổng các sô trong ô màu xanh trừ đi tổng các số trong ô màu đỏ

Tuy nhiên số này chính bằng $f(A)-f(B)$, vì vâỵ mệnh đề đúng với $n=k+1$. Vậy giả thiết quy nạp được chứng minh 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JUV: 18-05-2016 - 23:57