Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho a,b,c>0 và a+b+c=4. Cmr: $(a+b)(b+c)(c+a)\ge a^3b^3c^3$

bdt_03

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 ngothithuynhan100620

ngothithuynhan100620

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 107 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:-Học Toán
    -Nghe nhạc
    -Xem phim

Đã gửi 16-05-2016 - 19:09

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=4$. Cmr: $(a+b)(b+c)(c+a)\ge a^3b^3c^3$


                                                                                                                                                                   Lấy bất biến ứng vạn biến

                                                                                                                                                                               ED05DCDD2A7559524BE5222A4F48EFE5.png      


#2 leminhnghiatt

leminhnghiatt

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1078 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\color{blue}{\text{THPT Thanh Thủy}}$
  • Sở thích:$\color{Blue}{\text{Bầu trời xanh của tôi}}$

Đã gửi 16-05-2016 - 19:37

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=4$. Cmr: $(a+b)(b+c)(c+a)\ge a^3b^3c^3$

 

Ta có: $a+b \geq 2\sqrt{ab}$

 

$\rightarrow (a+b)(b+c)(c+a) \geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc$

 

Mà ta có: $4=a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc} \rightarrow abc \leq \dfrac{64}{27}<2\sqrt{2} \rightarrow abc< 2\sqrt{2}$

 

Ta có: $a^3b^3c^3-8abc=abc(a^2b^2c^2-8)=abc(abc-2\sqrt{2})(abc+2\sqrt{2})<0$

 

$\rightarrow a^3b^3c^3<8abc \leq (a+b)(b+c)(c+a) \rightarrow (a+b)(b+c)(c+a) >a^3b^3c^3$ (đpcm)

 

Dấu "=" không xảy ra do với mọi $a,b,c$ t/m thì $VT>VP$


Don't care


#3 phamhuy1801

phamhuy1801

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-05-2016 - 21:02

$16(a+b)=(a+b)(a+b+c)^2 \ge (a+b).4(a+b)c \ge 16abc$, nên $a+b \ge abc$

Tương tự $b+c \ge abc; c+a \ge abc$

Nhân lại ta được điều phải chứng minh, dấu "=" không xảy ra.







0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh