Chủ đề này có 2 trả lời

[ngothithuynhan100620]

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=4$. Cmr: $(a+b)(b+c)(c+a)\ge a^3b^3c^3$

[leminhnghiatt]

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=4$. Cmr: $(a+b)(b+c)(c+a)\ge a^3b^3c^3$

 

Ta có: $a+b \geq 2\sqrt{ab}$

 

$\rightarrow (a+b)(b+c)(c+a) \geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc$

 

Mà ta có: $4=a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc} \rightarrow abc \leq \dfrac{64}{27}<2\sqrt{2} \rightarrow abc< 2\sqrt{2}$

 

Ta có: $a^3b^3c^3-8abc=abc(a^2b^2c^2-8)=abc(abc-2\sqrt{2})(abc+2\sqrt{2})<0$

 

$\rightarrow a^3b^3c^3<8abc \leq (a+b)(b+c)(c+a) \rightarrow (a+b)(b+c)(c+a) >a^3b^3c^3$ (đpcm)

 

Dấu "=" không xảy ra do với mọi $a,b,c$ t/m thì $VT>VP$

[phamhuy1801]

$16(a+b)=(a+b)(a+b+c)^2 \ge (a+b).4(a+b)c \ge 16abc$, nên $a+b \ge abc$

Tương tự $b+c \ge abc; c+a \ge abc$

Nhân lại ta được điều phải chứng minh, dấu "=" không xảy ra.