Bosnia and Herzegovina TST 2016
Ngày 1
Bài 1. Cho $ABCD$ là một tứ giác nội tiếp đường tròn $k$. Đường thẳng $AB$ và $CD$ giao nhau tại $E$ sao cho $AB = BE$. Cho $F$ là giao điểm của tiếp tuyến của đường tròn $k$ tại điểm $B$ và $D$. Nếu đường $AB$ và $DF$ song song nhau, chứng minh rằng $A, C, F$ thẳng hàng.
Bài 2. Cho $n$ là số nguyên dương và $t$ là một số nguyên. $n$ số nguyên khác nhau được viết lên một cái bàn. Bob ngồi gần trong một căn phòng gần đó, muốn biết liệu có tồn tại vài số có tổng bằng với $t$. Alice thì đứng trước bàn và muốn giúp Bob. Đầu tiên trước khi bắt đầu game, Alice nói cho Bob tổng các số trên bàn. Sau đó, ở mỗi bước đi Bob sẽ nói một trong các câu:
i) Có một số nào trên bàn bằng với $k$?
ii) Nếu có tồn tại số $k$ trên bàn, xóa nó đi.
iii) Nếu không có số $k$ trên bàn, viết thêm đi.
iv) Các số trên bàn có thể sắp xếp thành hai tập mà tổng các phần tử mỗi tập là bằng nhau?
Ở các câu hỏi này Alice trả lời có hoặc không, và quá trình cô Bob bảo Alice làm (nếu có) thì Alice không nói cho Bob là cô có làm hay không. Chứng minh rằng trong ít hơn $3n$ bước đi, Bob có thể tìm ra liệu có tồn tại một số số (ban đầu) viết trên bàn sao cho tổng bằng $t$.
Bài 3. Cho dãy vô hạn $a_{1} < a_{2} < \cdots$ các số nguyên dương, chúng ta nói dãy này là đẹp nếu với mọi số nguyên dương $n$ thì $a_{2n} = 2a_{n}$. Chứng minh các khẳng định sau:
a) Nếu tồn tại một dãy đẹp và số nguyên tố $p > a_{1}$, thì tồn tại vài phần tử của dãy chia hết cho $p$.
b) Với mọi số nguyên tố $p > 2$, tồn tại một dãy đẹp sao cho không có phần tử nào chia hết cho $p$.
Ngày 2
Bài 4. Xác định số nguyên dương $n$ lớn nhất không thể viết thành tổng của ba số nguyên dương lớn hơn $1$ nguyên tố cùng nhau đôi một.
Bài 5. Cho $k$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC (AC < BC)$. Và, $CL$ là phân giác của $\angle ACB (L \in AB)$, $M$ là trung điểm của cung $AB$ của cung tròn của đường tròn $k$ chứa $C$, và $I$ là tâm nội tiếp của $\triangle ABC$. Đường tròn $k$ cắt đường $MI$ tại điểm $K$ và đường tròn đường kính $CI$ tại $H$. Nếu tâm ngoại tiếp của $\triangle CLK$ giao với $AB$ tại điểm $T$. Chứng minh rằng $T, H, C$ thẳng hàng.