Đến nội dung

Hình ảnh

CMR:$\frac{a+b+c}{2}+2(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a})\geq \frac{9}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
trieuduc0101

trieuduc0101

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết

Cho $a,b,c> 0$ thỏa mãn $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=\frac{3}{2}.$ CMR

$\frac{a+b+c}{2}+2(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a})\geq \frac{9}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trieuduc0101: 17-05-2016 - 20:34


#2
tien123456789

tien123456789

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 116 Bài viết

$\sum \frac{1}{a+1}= \frac{3}{2}\Leftrightarrow 3abc+ab+bc+ca= a+b+c+3$

đổi biến $ab+bc+ca=q ,a+b+c=p,abc=r$

ta có 3r+q=3+p

VT$= \frac{p}{2}+\frac{2(p^{2}+pr)}{pq-r}\geq \frac{9}{2}$

$p^{2}q+3pr+4q^{2}\geq 9pr-9r\Leftrightarrow p^{2}q+p(3+p-q)+4q^{2}\geq 9pq-3(p+q-3)\Leftrightarrow (1+q)p^{2}+(6-10q)p+4q^{2}-3q+9\geq 0$

ta có $\Delta '= (3+5q)^{2}-(1+q)(4q^{2}-3q+9)= -4q(q-3)^{2}\leq 0$ mà q+1>0 nên suy ra ĐPCM


Điều quan trọng là đừng bao giờ bỏ cuộc. Đừng lo sợ sự chậm trễ mà hãy lo sợ khi dừng lại. - Kim Nan Do





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh