Chủ đề này có 2 trả lời

[Truong Gia Bao]

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn: $x+y+z \leq \frac{3}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P= \frac{z(xy+1)^2}{y^2(yz+1)}+\frac{x(yz+1)^2}{z^2(xz+1)}+\frac{y(xz+1)^2}{x^2(xy+1)}$

[tpdtthltvp]

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn: $x+y+z \leq \frac{3}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P= \frac{z(xy+1)^2}{y^2(yz+1)}+\frac{x(yz+1)^2}{z^2(xz+1)}+\frac{y(xz+1)^2}{x^2(xy+1)}$

Ta có:

$$\frac{3}{2}\geq x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow xyz\leq \frac{1}{8}$$

Áp dụng trực tiếp BĐT $Cauchy$, ta có:

$$P\geq 3\sqrt[3]{\frac{(xy+1)(yz+1)(zx+1)}{xyz}}$$

Mà:

$$xy+1=xy+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\geq 5\sqrt[5]{\frac{xy}{2^8}}$$

CMTT:

$$(xy+1)(yz+1)(zx+1)\geq 125\sqrt[5]{\frac{(xyz)^2}{2^{24}}}$$

$$\Leftrightarrow \frac{(xy+1)(yz+1)(zx+1)}{xyz}\geq \frac{125}{\sqrt[5]{2^{24}}.\sqrt[5]{(xyz)^3}}=\frac{125}{\sqrt[5]{2^{24}.(xyz)^3}}\geq \frac{125}{\sqrt[5]{2^{24}.(\frac{1}{8})^3}}=\frac{125}{\sqrt[5]{2^{15}}}=\frac{5^3}{2^3}$$

Do đó:

$$P\geq 3\sqrt[3]{\frac{5^3}{2^3}}=3.\frac{5}{2}=\frac{15}{2}$$

Vậy $GTNN_P=\frac{15}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}$

[KietLW9]

Ta viết P về dạng: $\frac{(x+\frac{1}{y})^2}{y+\frac{1}{z}}+\frac{(y+\frac{1}{z})^2}{z+\frac{1}{x}}+\frac{(z+\frac{1}{x})^2}{x+\frac{1}{y}}$

Áp dụng Cauchy-Schwarz dạng phân thức và Cauchy, ta được: $\frac{(x+\frac{1}{y})^2}{y+\frac{1}{z}}+\frac{(y+\frac{1}{z})^2}{z+\frac{1}{x}}+\frac{(z+\frac{1}{x})^2}{x+\frac{1}{y}}\geqslant \frac{(x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2}{x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}} =x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant x+y+z+\frac{9}{x+y+z}=(x+y+z+\frac{9}{4(x+y+z)})+\frac{27}{4(x+y+z)}\geqslant \frac{15}{2}$ 

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 04-04-2021 - 18:38