Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=3xy$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{x^2}{x^2+yz}+\frac{y}{z+x}+\frac{x^2+y^2}{x^2+z^2}$
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=3xy$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{x^2}{x^2+yz}+\frac{y}{z+x}+\frac{x^2+y^2}{x^2+z^2}$
Lấy bất biến ứng vạn biến
Giả sử $x\geqslant y\geqslant z$Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=3xy$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{x^2}{x^2+yz}+\frac{y}{z+x}+\frac{x^2+y^2}{x^2+z^2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 18-05-2016 - 21:45
Giả sử $x\geqslant y\geqslant z$
Đặt $a=\frac{y}{x}$ và $b=\frac{z}{x}$ $(a,b\leqslant 1)$
Từ giả thiết$=>a^2+b^2+1=3a$
$=>P=\frac{1}{ab+1}+\frac{a}{b+1}+\frac{a^2+1}{3a-a^2}$
Áp dụng Bunchiacopxki và Cauchy cho $ab+1$, $b+1$
$ab+1\leqslant \sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}\leqslant \frac{a^2+b^2+2}{2}=\frac{3a+1}{2}$
$b+1\leqslant \sqrt{2(b^2+1)}=\sqrt{2(3a-a^2)}\leqslant \frac{3a-a^2+2}{2}$
$=>P\geqslant \frac{2}{3a+1}+\frac{2a}{3a-a^2+2}+\frac{a^2+1}{3a-a^2}$
Ta cần chứng minh $P\geqslant 2$
$<=>\frac{-9a^5+38a^4-20a^3-20a^2+9a+2}{a(a-3)[a(a-3)-2]\geqslant 0$
$<=>-9a^5+38a^4-20a^3-20a^2+9a+2\geqslant 0$
$<=>(a-1)(9a^4-29a^3-9a^2+11a+2)\geqslant 0$ (luôn đúng do $a\leqslant 1$)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
Bài này có được phép giả sử không nhỉ ?
Không được giả sử đâu, vai trò của $x,y,z$ khác nhau
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 19-05-2016 - 12:25
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Lấy bất biến ứng vạn biến
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
Chứng minh rằng: $64(\sum a)^4\ge 243(\prod{(a+b)^2})$Bắt đầu bởi tritanngo99, 22-03-2017 bdt_03 |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}$Bắt đầu bởi TanSan26, 28-10-2016 bdt_03 |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{3x}{2}+\frac{4y}{3}+\frac{5z}{6}$Bắt đầu bởi tritanngo99, 07-07-2016 bdt_03 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Cmr: $\prod (a+b)\ge \prod (c+ab)$Bắt đầu bởi ngothithuynhan100620, 01-06-2016 bdt_03 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh rằng: $\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2} \leq \frac{3}{4}$Bắt đầu bởi ngothithuynhan100620, 21-05-2016 bdt_03 |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh