Chủ đề này có 3 trả lời

[ngothithuynhan100620]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=3xy$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{x^2}{x^2+yz}+\frac{y}{z+x}+\frac{x^2+y^2}{x^2+z^2}$

[Minhnguyenthe333]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=3xy$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{x^2}{x^2+yz}+\frac{y}{z+x}+\frac{x^2+y^2}{x^2+z^2}$

Giả sử $x\geqslant y\geqslant z$
Đặt $a=\frac{y}{x}$ và $b=\frac{z}{x}$ $(a,b\leqslant 1)$
Từ giả thiết$=>a^2+b^2+1=3a$
$=>P=\frac{1}{ab+1}+\frac{a}{b+1}+\frac{a^2+1}{3a-a^2}$
Áp dụng Bunchiacopxki và Cauchy cho $ab+1$, $b+1$
$ab+1\leqslant \sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}\leqslant \frac{a^2+b^2+2}{2}=\frac{3a+1}{2}$

$b+1\leqslant \sqrt{2(b^2+1)}=\sqrt{2(3a-a^2)}\leqslant \frac{3a-a^2+2}{2}$

$=>P\geqslant \frac{2}{3a+1}+\frac{2a}{3a-a^2+2}+\frac{a^2+1}{3a-a^2}$
Ta cần chứng minh $P\geqslant 2$
$<=>\frac{-9a^5+38a^4-20a^3-20a^2+9a+2}{a(a-3)[a(a-3)-2]}\geqslant 0$
$<=>-9a^5+38a^4-20a^3-20a^2+9a+2\geqslant 0$
$<=>(a-1)(9a^4-29a^3-9a^2+11a+2)\geqslant 0$ (luôn đúng do $a\leqslant 1$)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 18-05-2016 - 21:45

[nguyenhongsonk612]

Giả sử $x\geqslant y\geqslant z$
Đặt $a=\frac{y}{x}$ và $b=\frac{z}{x}$ $(a,b\leqslant 1)$
Từ giả thiết$=>a^2+b^2+1=3a$
$=>P=\frac{1}{ab+1}+\frac{a}{b+1}+\frac{a^2+1}{3a-a^2}$
Áp dụng Bunchiacopxki và Cauchy cho $ab+1$, $b+1$
$ab+1\leqslant \sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}\leqslant \frac{a^2+b^2+2}{2}=\frac{3a+1}{2}$
$b+1\leqslant \sqrt{2(b^2+1)}=\sqrt{2(3a-a^2)}\leqslant \frac{3a-a^2+2}{2}$

$=>P\geqslant \frac{2}{3a+1}+\frac{2a}{3a-a^2+2}+\frac{a^2+1}{3a-a^2}$
Ta cần chứng minh $P\geqslant 2$
$<=>\frac{-9a^5+38a^4-20a^3-20a^2+9a+2}{a(a-3)[a(a-3)-2]\geqslant 0$
$<=>-9a^5+38a^4-20a^3-20a^2+9a+2\geqslant 0$
$<=>(a-1)(9a^4-29a^3-9a^2+11a+2)\geqslant 0$ (luôn đúng do $a\leqslant 1$)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

Bài này có được phép giả sử không nhỉ ?

Không được giả sử đâu, vai trò của $x,y,z$ khác nhau

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 19-05-2016 - 12:25

[ngothithuynhan100620]

bạn có cách nào dễ hiểu hơn ko