Chủ đề này có 2 trả lời

[qnhipy001]

Cho đường tròn (O;R). Từ điểm A ở ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến AB, AC của đường tròn đó(B,C là các tiếp điểm).Gọi H là giao điểm của OA và BC.Gọi E là hình chiếu của C lên đường kính BD của (O). AD cắt CE tại K Chứng minh K là trung điểm CE

[tanthanh112001]

Cho đường tròn (O;R). Từ điểm A ở ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến AB, AC của đường tròn đó(B,C là các tiếp điểm).Gọi H là giao điểm của OA và BC.Gọi E là hình chiếu của C lên đường kính BD của (O). AD cắt CE tại K Chứng minh K là trung điểm CE

Vì $AB,AC$ là 2 tiếp tuyến của $(O)$ nên $AB=AC$ và $BO=CO=R$ $\Rightarrow AO$ là đường trung trực của $BC$ $\Rightarrow BH=CH$

$\bigtriangleup BCE$ vuông tại $E$ có HE là đường trung tuyến $(BH=CH)$

$\Rightarrow HE=BH=CH\Rightarrow \bigtriangleup CHE$ cân tại H (1)

Tứ giác $HOEC$ nội tiếp ($\widehat{OEC}+\widehat{CHO}=180^{\circ}$)

$\Rightarrow \widehat{BOA}=\widehat{BCE}$ và $\widehat{CHE}=\widehat{COD}$                        mà $\widehat{CHK}+\widehat{BCK}=\widehat{BOA}+\widehat{BAO}(=90^{\circ})$

$\Rightarrow \widehat{CHK}=\widehat{BAO}$ mà $\widehat{BAO}=\widehat{CBD}$ (cùng phụ $\widehat{ABH}$)

$\Rightarrow \widehat{CHK}=\widehat{CBD}$

mà $2\widehat{CBD}=\widehat{COD}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm) $\Rightarrow 2\widehat{CHK}=\widehat{COD}$  

mà $\widehat{COD}=\widehat{CHE}$ $\Rightarrow 2\widehat{CHK}=\widehat{CHE}\Rightarrow HK$ là tia phân giác  $\widehat{CHE}$ $(2)$

$(1),(2)\Rightarrow HK$ là đường trung tuyến trong $\bigtriangleup CHE$ $\Rightarrow đpcm$

cách làm hơi dài dòng, bạn nào có cách giải khác mong được chỉ giáo  

[hathanh123]

hinh.png

Vì $AB,AC$ là 2 tiếp tuyến của $(O)$ nên $AB=AC$ và $BO=CO=R$ $\Rightarrow AO$ là đường trung trực của $BC$ $\Rightarrow BH=CH$

$\bigtriangleup BCE$ vuông tại $E$ có HE là đường trung tuyến $(BH=CH)$

$\Rightarrow HE=BH=CH\Rightarrow \bigtriangleup CHE$ cân tại H (1)

Tứ giác $HOEC$ nội tiếp ($\widehat{OEC}+\widehat{CHO}=180^{\circ}$)

$\Rightarrow \widehat{BOA}=\widehat{BCE}$ và $\widehat{CHE}=\widehat{COD}$                        mà $\widehat{CHK}+\widehat{BCK}=\widehat{BOA}+\widehat{BAO}(=90^{\circ})$

$\Rightarrow \widehat{CHK}=\widehat{BAO}$ mà $\widehat{BAO}=\widehat{CBD}$ (cùng phụ $\widehat{ABH}$)

$\Rightarrow \widehat{CHK}=\widehat{CBD}$

mà $2\widehat{CBD}=\widehat{COD}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm) $\Rightarrow 2\widehat{CHK}=\widehat{COD}$  

mà $\widehat{COD}=\widehat{CHE}$ $\Rightarrow 2\widehat{CHK}=\widehat{CHE}\Rightarrow HK$ là tia phân giác  $\widehat{CHE}$ $(2)$

$(1),(2)\Rightarrow HK$ là đường trung tuyến trong $\bigtriangleup CHE$ $\Rightarrow đpcm$

cách làm hơi dài dòng, bạn nào có cách giải khác mong được chỉ giáo  

 

Bạn giải thích dùm đoạn màu đỏ. Mình ko hiểu lắm.