Chủ đề này có 3 trả lời

[babystudymaths]

Tìm các số nguyên dương k,m,n thoả mãn 

$k^{m}\mid m^{n}-1 ; k^{n}\mid n^{m}-1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 20-05-2016 - 16:15

[nhungvienkimcuong]

Tìm các số nguyên dương k,m,n thoả mãn 

$k^{m}\mid m^{n}-1 ; k^{n}\mid n^{m}-1$

WLOG $m\ge n$

gọi $p$ là ước nguyên tố lẻ bất kì của $k$

xét với $m,n,k>1$

đặt $d=ord_p(m)\Rightarrow d\mid p-1\Rightarrow (d,p)=1$,từ giả thiết dễ thấy $(m,p)=(n,p)=1$

từ giả thiết ta có

$m\le v_p(m^n-1)=v_p(m^d-1)+v_p\left ( \frac{n}{d} \right )=v_p(m^d-1)$

$\Rightarrow p^m\le n(m^d-1)\leq (m^d-1)\overset{d\mid p-1}{\le }(m^{p-1}-1)<m^p$

từ đây dễ thấy $p>m$

với $p>m$ thì vô lí vì

$p^m\le m^n-1< m^m\Rightarrow p<m$

do đó $k$ chỉ có ước nguyên tố là $2$ do đó từ giả thiết dễ thấy $m,n$ lẻ

ta có $m^{n-1}+m^{n-2}+...+1$ lẻ mà $2^m\mid m^n-1\Rightarrow 2^m\mid m-1\Rightarrow 2^m\le m-1$

điều trên vô lí nên thử lại ta có các nghiệm $\boxed{\left \{ (1,1,k);(m,n,1) \right \}}$

Spoiler

1 bài cũ  

Spoiler

lâu r chả chạm nên có gì sai sót mong mn lượng thứ   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 20-05-2016 - 16:55

[babystudymaths]

Đoạn suy ra p > m có vẻ ko chặt lắm. Anh có thể viết rõ hơn dc̣ ko ạ. Em thấy có một số trường hợp ko xử lý dc̣.

[nhungvienkimcuong]

Đoạn suy ra p > m có vẻ ko chặt lắm. Anh có thể viết rõ hơn dc̣ ko ạ. Em thấy có một số trường hợp ko xử lý dc̣.

hàm $\mathcal{F}(x)=x^{\frac{1}{x}}$ nghịch biến với $x>e$ 

nên có một số trường hợp bé tí nữa   nhưng nhìn cơ bản như trên là ổn