Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$x^{2}+y^{2}+z^{2}= 2$ . C/m $x+y+z-xyz\leq 2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 Shin Janny

Shin Janny

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 20-05-2016 - 22:54

Cho các số thực x, y, z thỏa $x^{2}+y^{2}+z^{2}= 2$ . C/m $x+y+z-xyz\leq 2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Shin Janny: 20-05-2016 - 22:56


#2 leminhnghiatt

leminhnghiatt

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1078 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\color{blue}{\text{THPT Thanh Thủy}}$
  • Sở thích:$\color{Blue}{\text{Bầu trời xanh của tôi}}$

Đã gửi 20-05-2016 - 23:43

Cho các số thực x, y, z thỏa $x^{2}+y^{2}+z^{2}= 2$ . C/m $x+y+z-xyz\leq 2$

 

Khi đó bđt cần chứng minh tương đương với: $(x+y+z-xyz)^2 \leq 4$

 

Ta có: $(x+y+z-xyz)^2=[(x+y)+z(1-xy)]^2 \leq [(x+y)^2+z^2][1+(1-xy)^2]$ (theo bđt Bu-nhi-a)

 

Lại có: $[(x+y)^2+z^2][1+(1-xy)^2]= (2+2xy)[1+(1-xy)^2]=2(1+xy)(2-2xy+x^2y^2)=4+2x^2y^2(xy-1)$

 

Ta có: $xy \leq \dfrac{x^2+y^2}{2} \leq \dfrac{x^2+y^2+z^2}{2}=1 \rightarrow xy-1 \leq 0$

 

$\rightarrow (x+y+z-xyz)^2 \leq 4 \rightarrow x+y+z-xyz \leq 2$

 

Dấu "=" $\iff (x;y;z)=(1;1;0)$ và các hoán vị...

 

p/s: bài đã sửa


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 21-05-2016 - 16:41

Don't care


#3 thank you

thank you

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 42 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:nghe an
  • Sở thích:hihi

Đã gửi 21-05-2016 - 08:07

 

Ta có: $ \rightarrow xy \leq \dfrac{2}{3} \rightarrow xy-1 \leq 0$

 

 

 

bn cho mình hỏi đoạn này với tại mình nghĩ $xy\leq \frac{2}{3}< 1=>xy< 1$ nên không xảy ra dấu bằng. 



#4 thang1308

thang1308

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A5-K54-LĐB
  • Sở thích:Arsenal, ĐT Anh-Pháp-Đức

Đã gửi 21-05-2016 - 14:42

x,y,z là số thực mà, ví dụ (x,y,z)=(-5,1,2) thì 3z^2< x^2+y^2+z^2 , vô lí


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thang1308: 21-05-2016 - 14:43

Hôm nay thi xong. Căn bản là mệt!!! :wacko:  :wacko:


#5 thank you

thank you

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 42 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:nghe an
  • Sở thích:hihi

Đã gửi 21-05-2016 - 20:04

 

Ta có: $xy \leq \dfrac{x^2+y^2}{2} \leq \dfrac{x^2+y^2+z^2}{2}=1 \rightarrow xy-1 \leq 0$

 

 

 

bn cho minh hoi thêm chỗ này với. ở đây bn dùng côsi đúng không . nếu đúng vậy thì x,y,z phải là số thực dương chứ.



#6 leminhnghiatt

leminhnghiatt

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1078 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\color{blue}{\text{THPT Thanh Thủy}}$
  • Sở thích:$\color{Blue}{\text{Bầu trời xanh của tôi}}$

Đã gửi 21-05-2016 - 20:21

bn cho minh hoi thêm chỗ này với. ở đây bn dùng côsi đúng không . nếu đúng vậy thì x,y,z phải là số thực dương chứ.

 

$xy \leq |xy| \leq \dfrac{x^2+y^2}{2}$

 

Vẫn được nhé bạn!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 21-05-2016 - 20:23

Don't care





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh