Cho các số thực x, y, z thỏa $x^{2}+y^{2}+z^{2}= 2$ . C/m $x+y+z-xyz\leq 2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Shin Janny: 20-05-2016 - 22:56
Cho các số thực x, y, z thỏa $x^{2}+y^{2}+z^{2}= 2$ . C/m $x+y+z-xyz\leq 2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Shin Janny: 20-05-2016 - 22:56
Cho các số thực x, y, z thỏa $x^{2}+y^{2}+z^{2}= 2$ . C/m $x+y+z-xyz\leq 2$
Khi đó bđt cần chứng minh tương đương với: $(x+y+z-xyz)^2 \leq 4$
Ta có: $(x+y+z-xyz)^2=[(x+y)+z(1-xy)]^2 \leq [(x+y)^2+z^2][1+(1-xy)^2]$ (theo bđt Bu-nhi-a)
Lại có: $[(x+y)^2+z^2][1+(1-xy)^2]= (2+2xy)[1+(1-xy)^2]=2(1+xy)(2-2xy+x^2y^2)=4+2x^2y^2(xy-1)$
Ta có: $xy \leq \dfrac{x^2+y^2}{2} \leq \dfrac{x^2+y^2+z^2}{2}=1 \rightarrow xy-1 \leq 0$
$\rightarrow (x+y+z-xyz)^2 \leq 4 \rightarrow x+y+z-xyz \leq 2$
Dấu "=" $\iff (x;y;z)=(1;1;0)$ và các hoán vị...
p/s: bài đã sửa
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 21-05-2016 - 16:41
Don't care
Ta có: $ \rightarrow xy \leq \dfrac{2}{3} \rightarrow xy-1 \leq 0$
bn cho mình hỏi đoạn này với tại mình nghĩ $xy\leq \frac{2}{3}< 1=>xy< 1$ nên không xảy ra dấu bằng.
x,y,z là số thực mà, ví dụ (x,y,z)=(-5,1,2) thì 3z^2< x^2+y^2+z^2 , vô lí
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thang1308: 21-05-2016 - 14:43
Hôm nay thi xong. Căn bản là mệt!!!
Ta có: $xy \leq \dfrac{x^2+y^2}{2} \leq \dfrac{x^2+y^2+z^2}{2}=1 \rightarrow xy-1 \leq 0$
bn cho minh hoi thêm chỗ này với. ở đây bn dùng côsi đúng không . nếu đúng vậy thì x,y,z phải là số thực dương chứ.
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh