Chủ đề này có 5 trả lời

[Shin Janny]

Cho các số thực x, y, z thỏa $x^{2}+y^{2}+z^{2}= 2$ . C/m $x+y+z-xyz\leq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Shin Janny: 20-05-2016 - 22:56

[leminhnghiatt]

Cho các số thực x, y, z thỏa $x^{2}+y^{2}+z^{2}= 2$ . C/m $x+y+z-xyz\leq 2$

 

Khi đó bđt cần chứng minh tương đương với: $(x+y+z-xyz)^2 \leq 4$

 

Ta có: $(x+y+z-xyz)^2=[(x+y)+z(1-xy)]^2 \leq [(x+y)^2+z^2][1+(1-xy)^2]$ (theo bđt Bu-nhi-a)

 

Lại có: $[(x+y)^2+z^2][1+(1-xy)^2]= (2+2xy)[1+(1-xy)^2]=2(1+xy)(2-2xy+x^2y^2)=4+2x^2y^2(xy-1)$

 

Ta có: $xy \leq \dfrac{x^2+y^2}{2} \leq \dfrac{x^2+y^2+z^2}{2}=1 \rightarrow xy-1 \leq 0$

 

$\rightarrow (x+y+z-xyz)^2 \leq 4 \rightarrow x+y+z-xyz \leq 2$

 

Dấu "=" $\iff (x;y;z)=(1;1;0)$ và các hoán vị...

 

p/s: bài đã sửa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 21-05-2016 - 16:41

[thank you]

 

Ta có: $ \rightarrow xy \leq \dfrac{2}{3} \rightarrow xy-1 \leq 0$

 

 

 

bn cho mình hỏi đoạn này với tại mình nghĩ $xy\leq \frac{2}{3}< 1=>xy< 1$ nên không xảy ra dấu bằng. 

[thang1308]

x,y,z là số thực mà, ví dụ (x,y,z)=(-5,1,2) thì 3z^2< x^2+y^2+z^2 , vô lí

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thang1308: 21-05-2016 - 14:43

[thank you]

 

Ta có: $xy \leq \dfrac{x^2+y^2}{2} \leq \dfrac{x^2+y^2+z^2}{2}=1 \rightarrow xy-1 \leq 0$

 

 

 

bn cho minh hoi thêm chỗ này với. ở đây bn dùng côsi đúng không . nếu đúng vậy thì x,y,z phải là số thực dương chứ.

[leminhnghiatt]

bn cho minh hoi thêm chỗ này với. ở đây bn dùng côsi đúng không . nếu đúng vậy thì x,y,z phải là số thực dương chứ.

 

$xy \leq |xy| \leq \dfrac{x^2+y^2}{2}$

 

Vẫn được nhé bạn!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 21-05-2016 - 20:23