Cho tam giác $ABC$. Đường tròn bất kỳ tâm $K$ qua $B,C$ cắt $AB, AC$ ở $E, F.CE$ cắt $BF$ ở $H. AH$ cắt $\odot (O)$ ở $P$. Kẻ $KD\perp AP. Q$ đối xứng $P$ qua $D$. Chứng minh $EH, EQ$ đẳng giác trong góc $FED$.
Chứng minh bài này thì sử dụng một số tính chất trong cách chứng minh của định lý $Brocard$
Theo cách chứng minh của định lý $Brocard$ thì ta có tính chất sau:
- $E,H,D,B$ và $F,H,D,C$ là các bộ $4$ điểm cùng nằm trên một đường tròn
Ta sẽ chứng minh $AEQF$ nội tiếp
Thật vậy:
Gọi $C',F'$ lần lượt là điểm đối xứng của $C,F$ qua $DK$
$Q'$ là giao điểm của $(AEF)$ với $AH$
Do $DK$ là đường kính của $(K)$ nên $C',F'$ đêu nằm trên $(K)$ và $CC'FF'$ là một hình thang cân
Ta có: $\widehat{FEC'}=Sđ \stackrel\frown{FC'}=Sđ \stackrel\frown{F'C}=\widehat{F'FC}=\widehat{PAC}=\widehat{FEQ'}$
Suy ra $E,Q',C'$ thẳng hàng
Lại có: $\widehat{CPQ'}=\widehat{CBA}=\widehat{AFE}=\widehat{AQ'E}=\widehat{C'Q'P}$
Mà $CC' \parallel PQ'$ và $C,C'$ đối xứng qua $DK$ nên $Q',P$ cũng đối xứng qua $DK$
Suy ra $Q \equiv Q'$
Suy ra $AEQF$ nội tiếp
Ta cần chứng minh $\widehat{QEF}=\widehat{HED} \Leftrightarrow \widehat{DAF}=\widehat{DBH} \Leftrightarrow $ $ABDF$ nội tiếp (dễ chứng minh)
Suy ra $EH, EQ$ đẳng giác trong góc $FED$.