Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $EH, EQ$ đẳng giác trong $\angle FED$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
No Moniker

No Moniker

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 26 Bài viết

Cho tam giác $ABC$. Đường tròn bất kỳ tâm $K$ qua $B,C$ cắt $AB, AC$ ở $E, F.CE$ cắt $BF$ ở $H. AH$ cắt $\odot (O)$ ở $P$. Kẻ $KD\perp AP. Q$ đối xứng $P$ qua $D$. Chứng minh $EH, EQ$ đẳng giác trong góc $FED$.
 

13064664_244972322534033_8764484437078484481_o.jpg


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 22-05-2016 - 08:13

I AM UNNAMED


#2
viet nam in my heart

viet nam in my heart

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 242 Bài viết

Cho tam giác $ABC$. Đường tròn bất kỳ tâm $K$ qua $B,C$ cắt $AB, AC$ ở $E, F.CE$ cắt $BF$ ở $H. AH$ cắt $\odot (O)$ ở $P$. Kẻ $KD\perp AP. Q$ đối xứng $P$ qua $D$. Chứng minh $EH, EQ$ đẳng giác trong góc $FED$.

j.png

Chứng minh bài này thì sử dụng một số tính chất trong cách chứng minh của định lý $Brocard$

Theo cách chứng minh của định lý $Brocard$ thì ta có tính chất sau:

  • $E,H,D,B$ và $F,H,D,C$ là các bộ $4$ điểm cùng nằm trên một đường tròn

Ta sẽ chứng minh $AEQF$ nội tiếp

Thật vậy:

Gọi $C',F'$ lần lượt là điểm đối xứng  của $C,F$ qua $DK$

       $Q'$ là giao điểm của $(AEF)$ với $AH$

Do $DK$ là đường kính của $(K)$ nên $C',F'$ đêu nằm trên $(K)$ và $CC'FF'$ là một hình thang cân

Ta có: $\widehat{FEC'}=Sđ \stackrel\frown{FC'}=Sđ \stackrel\frown{F'C}=\widehat{F'FC}=\widehat{PAC}=\widehat{FEQ'}$

Suy ra $E,Q',C'$ thẳng hàng

Lại có: $\widehat{CPQ'}=\widehat{CBA}=\widehat{AFE}=\widehat{AQ'E}=\widehat{C'Q'P}$

Mà $CC' \parallel PQ'$ và $C,C'$ đối xứng qua $DK$ nên $Q',P$ cũng đối xứng qua $DK$

Suy ra $Q \equiv Q'$

Suy ra $AEQF$ nội tiếp

Ta cần chứng minh $\widehat{QEF}=\widehat{HED} \Leftrightarrow \widehat{DAF}=\widehat{DBH} \Leftrightarrow $ $ABDF$ nội tiếp (dễ chứng minh)

Suy ra $EH, EQ$ đẳng giác trong góc $FED$.


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công." Isaac Newton

VMF's Marathon Hình học Olympic


#3
babystudymaths

babystudymaths

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 312 Bài viết

Cho tam giác $ABC$. Đường tròn bất kỳ tâm $K$ qua $B,C$ cắt $AB, AC$ ở $E, F.CE$ cắt $BF$ ở $H. AH$ cắt $\odot (O)$ ở $P$. Kẻ $KD\perp AP. Q$ đối xứng $P$ qua $D$. Chứng minh $EH, EQ$ đẳng giác trong góc $FED$.
 

attachicon.gif13064664_244972322534033_8764484437078484481_o.jpg

Bài toán có thể chuyển đổi thành cấu hình sau cơ bản, dễ nhìn và giải hơn

Cho tứ giác BFEC nội tiếp (K). BF cắt CE tại A. CF cắt BE tại H. Kẻ KD vuông góc AH. M,N lần lượt đối xứng với B, C qua KD. CMR : FN, EM AH đồng quy tại Q ; lấy P đx Q qua D. CMR P thuộc (ABC)


TLongHV





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh