Chủ đề này có 3 trả lời

[themather]

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x+y=\sqrt{xy}+xy & & \\ \sqrt{1+3x^2}+\sqrt{1+3y^2}=4xy & & \end{matrix}\right.$

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi themather: 21-05-2016 - 00:30

[Phuong Thu Quoc]

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x+y=\sqrt{xy}+xy & & \\ \sqrt{1+3x^2}+\sqrt{1+3y^2}=4xy & & \end{matrix}\right.$

xét $x=y$ thế vào phương trình (1) được 1 nghiệm $x=y=1$ thỏa mãn

xét $x\neq y$

hpt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2-y^2}{x-y}=\sqrt{xy}+xy\\ \frac{3(x^2-y^2)}{\sqrt{1-3x^2}-\sqrt{1-3y^2}}=4xy \end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \frac{3(x-y)(\sqrt{xy}+xy)}{\sqrt{1+3x^2}-\sqrt{1+3y^2}}=4xy$

 

$\Leftrightarrow \sqrt{xy}[\frac{3(x-y)(\sqrt{xy}+1)}{\sqrt{1+3x^2}-\sqrt{1+3y^2}}-4\sqrt{xy}]=0$

 

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \sqrt{xy}=0\\ \frac{3(x-y)(\sqrt{xy}+1)}{\sqrt{1+3x^2}-\sqrt{1+3y^2}}-4\sqrt{xy}=0 (*) \end{bmatrix}$

 

$(*)\Leftrightarrow \frac{3(\sqrt{1+3x^2}+\sqrt{1+3y^2})(\sqrt{xy}+1)}{3(x+y)}=4\sqrt{xy}$

 

$\Leftrightarrow \frac{3(\sqrt{xy}+1)4xy}{3(x+y)}=4\sqrt{xy}$

 

$\Leftrightarrow (\sqrt{xy}+1)\sqrt{xy}=x+y=\sqrt{xy}+xy$

 

tuy ra được nghiệm nhưng hơi vòng vo và lằng nhằng!

[NAT]

xét $x=y$ thế vào phương trình (1) được 1 nghiệm $x=y=1$ thỏa mãn

xét $x\neq y$

hpt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{x^2-y^2}{x-y}=\sqrt{xy}+xy & \\ \frac{3(x^2-y^2)}{\sqrt{1-3x^2}-\sqrt{1-3y^2}}=4xy & \end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \frac{3(x-y)(\sqrt{xy}+xy)}{\sqrt{1+3x^2}-\sqrt{1+3y^2}}=4xy$

 

$\Leftrightarrow \sqrt{xy}[\frac{3(x-y)(\sqrt{xy}+1)}{\sqrt{1+3x^2}-\sqrt{1+3y^2}}-4\sqrt{xy}]=0$

 

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \sqrt{xy}=0\\ \frac{3(x-y)(\sqrt{xy}+1)}{\sqrt{1+3x^2}-\sqrt{1+3y^2}}-4\sqrt{xy}=0 (*) \end{bmatrix}$

 

$(*)\Leftrightarrow \frac{3(\sqrt{1+3x^2}+\sqrt{1+3y^2})(\sqrt{xy}+1)}{3(x+y)}=4\sqrt{xy}$

 

$\Leftrightarrow \frac{3(\sqrt{xy}+1)4xy}{3(x+y)}=4\sqrt{xy}$

 

$\Leftrightarrow (\sqrt{xy}+1)\sqrt{xy}=x+y=\sqrt{xy}+xy$

 

tuy ra được nghiệm nhưng hơi vòng vo và lằng nhằng!

Mình thấy cách của bạn hình như lòng vòng rồi, quay lại PT (1) rồi.

Hiện tại mình chưa nghĩ ra cách giải hay, chỉ nghĩ theo hướng hệ đối xứng loại II như sau:

ĐK: $xy\ge 0$. Từ (1) suy ra $x+y\ge 0$. Do đó, $x\ge 0$ và $y\ge 0$.

Dễ thấy với $x=0$ hoặc với $y=0$ đều không thỏa hệ phương trình.

Xét $x>0$, $y>0$. Từ (1) suy ra $\sqrt{xy}\ge 1$.

Đặt $a=x+y$, $b=\sqrt{xy}$ ($a>0$, $b\ge 1$), ta được:

$ \left\{\begin{matrix}   a=b+{{b}^{2}} & \\  2+3\left( {{b}^{4}}+2{{b}^{3}}-{{b}^{2}} \right)+2\sqrt{1+3\left( {{b}^{4}}+2{{b}^{3}}-{{b}^{2}} \right)+9{{b}^{4}}}=16{{b}^{4}}(*) & \end{matrix}\right.$

(*) $\Leftrightarrow 2\sqrt{12{{b}^{4}}+6{{b}^{3}}-3{{b}^{2}}+1}=13{{b}^{4}}-6{{b}^{3}}+3{{b}^{2}}-2$

$\Leftrightarrow 2\left[ \sqrt{12{{b}^{4}}+6{{b}^{3}}-3{{b}^{2}}+1}-\left( 5{{b}^{2}}-1 \right) \right]=13{{b}^{4}}-6{{b}^{3}}-7{{b}^{2}}$

$\Leftrightarrow \left( 5{{b}^{2}}-1-\sqrt{12{{b}^{4}}+6{{b}^{3}}-3{{b}^{2}}+1} \right)\left( 5{{b}^{2}}+1+\sqrt{12{{b}^{4}}+6{{b}^{3}}-3{{b}^{2}}+1} \right)=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{12{{b}^{4}}+6{{b}^{3}}-3{{b}^{2}}+1}=5{{b}^{2}}-1$

$\Leftrightarrow 13{{b}^{2}}-6b-7=0$$\Leftrightarrow b=1$ (do $b\ge 1$)$\Rightarrow a=2$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NAT: 29-05-2016 - 14:02

[Phuong Thu Quoc]

Mình thấy cách của bạn hình như lòng vòng rồi, quay lại PT (1) rồi.

Hiện tại mình chưa nghĩ ra cách giải hay, chỉ nghĩ theo hướng hệ đối xứng loại II như sau:

ĐK: $xy\ge 0$. Từ (1) suy ra $x+y\ge 0$. Do đó, $x\ge 0$ và $y\ge 0$.

Dễ thấy với $x=0$ hoặc với $y=0$ đều không thỏa hệ phương trình.

Xét $x>0$, $y>0$. Từ (1) suy ra $\sqrt{xy}\ge 1$.

Đặt $a=x+y$, $b=\sqrt{xy}$ ($a>0$, $b\ge 1$), ta được:

$ \left\{\begin{matrix}   a=b+{{b}^{2}} & \\  2+3\left( {{b}^{4}}+2{{b}^{3}}-{{b}^{2}} \right)+2\sqrt{1+3\left( {{b}^{4}}+2{{b}^{3}}-{{b}^{2}} \right)+9{{b}^{4}}}=16{{b}^{4}}(*) & \end{matrix}\right.$

(*) $\Leftrightarrow 2\sqrt{12{{b}^{4}}+6{{b}^{3}}-3{{b}^{2}}+1}=13{{b}^{4}}-6{{b}^{3}}+3{{b}^{2}}-2$

$\Leftrightarrow 2\left[ \sqrt{12{{b}^{4}}+6{{b}^{3}}-3{{b}^{2}}+1}-\left( 5{{b}^{2}}-1 \right) \right]=13{{b}^{4}}-6{{b}^{3}}-7{{b}^{2}}$

$\Leftrightarrow \left( 5{{b}^{2}}-1-\sqrt{12{{b}^{4}}+6{{b}^{3}}-3{{b}^{2}}+1} \right)\left( 5{{b}^{2}}+1+\sqrt{12{{b}^{4}}+6{{b}^{3}}-3{{b}^{2}}+1} \right)=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{12{{b}^{4}}+6{{b}^{3}}-3{{b}^{2}}+1}=5{{b}^{2}}-1$

$\Leftrightarrow 13{{b}^{2}}-6b-7=0$$\Leftrightarrow b=1$ (do $b\ge 1$)$\Rightarrow a=2$ 

mình thấy chỗ sai rồi