Tìm các số nguyên dương $x,y$ sao cho $$\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}$$ là một số nguyên tố.
Tìm $x,y\in \mathbb{Z}^{+}$ để $\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}$ là số nguyên tố.
#1
Đã gửi 21-05-2016 - 16:07
- CaptainCuong và goopd thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#2
Đã gửi 21-05-2016 - 16:46
Tìm các số nguyên dương $x,y$ sao cho $$\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}$$ là một số nguyên tố.
Giải như sau:
Đặt $x^2y^2=p(x^2+y^2)$ với $p\in\mathbb{P}$. Không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y$.
Phương trình tương đương với $(x^2-p)(y^2-p)=p^2$. Giờ chỉ cần xét TH
TH1: $x^2-p=y^2-p=p\rightarrow x^2=y^2=2p$, hiển nhiên $p=2$ kéo theo $x=y=2$
TH2: $x^2-p=p^2, y^2-p=1$. Thấy $x^2=p(p+1)$ với $(p,p+1)=1$ nên $p$ và $p+1$ phải là số chính phương ( vô lý)
Vậy $(x,y)=(2,2)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 21-05-2016 - 16:47
- O0NgocDuy0O, hoctrocuaHolmes, tpdtthltvp và 4 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 21-05-2016 - 17:59
Một cách giải khác cho bài toán này:
Giả sử $x\geq y$ , đặt $\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=p$ nguyên tố
$\Leftrightarrow x^{2}y^{2}=px^{2}+py^{2}\Leftrightarrow x^{2}(y^{2}-p)=py^{2}$
Nếu x= 1 thì biếu thức đã cho bằng $\frac{y^{2}}{y^{2}+1}<1$ không có giá trị nguyên
Nếu $x>y$ thì $py^{2}$ không chia hết cho $x^{2}$ do $p$ nguyên tố, $x> 1$,$y^{2}<x^{2}$
Suy ra $x=y\Leftrightarrow p=\frac{x^{2}}{2}$ Vì p là số nguyên tố nên $x^{2}$ chẵn$\Leftrightarrow x^{2}\vdots 4\Rightarrow p\vdots 2\Rightarrow p=2\Leftrightarrow x=y=2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doremon01: 21-05-2016 - 18:01
- O0NgocDuy0O, hoctrocuaHolmes, nloan2k1 và 2 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 21-05-2016 - 20:58
Dựa vào lời giải thú vị của bạn doremon01 mình nghĩ lời giải đó hoàn toàn đúng với bài toán tổng quát:
Tìm các số nguyên dương $x,y$ sao cho $\frac{x^{n}y^{n}}{x^{n}+y^{n}}$ là một số nguyên tố. ($n$ nguyên dương)
Thêm nữa mong mọi người hãy góp lời giải ở bài toán sau:
Tìm các số nguyên dương $x,y,z$ sao cho $\frac{x^{2}y^{2}z^{2}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ là một số nguyên tố.
($n$ nguyên dương)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HappyLife: 21-05-2016 - 20:59
- O0NgocDuy0O, PlanBbyFESN, CaptainCuong và 2 người khác yêu thích
#5
Đã gửi 24-05-2016 - 18:04
Một cách giải khác cho bài toán này:
Giả sử $x\geq y$ , đặt $\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=p$ nguyên tố
$\Leftrightarrow x^{2}y^{2}=px^{2}+py^{2}\Leftrightarrow x^{2}(y^{2}-p)=py^{2}$
Nếu x= 1 thì biếu thức đã cho bằng $\frac{y^{2}}{y^{2}+1}<1$ không có giá trị nguyên
Nếu $x>y$ thì $py^{2}$ không chia hết cho $x^{2}$ do $p$ nguyên tố, $x> 1$,$y^{2}<x^{2}$
Suy ra $x=y\Leftrightarrow p=\frac{x^{2}}{2}$ Vì p là số nguyên tố nên $x^{2}$ chẵn$\Leftrightarrow x^{2}\vdots 4\Rightarrow p\vdots 2\Rightarrow p=2\Leftrightarrow x=y=2$
Đoạn này bạn giải thích giúp mình được không???
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 24-05-2016 - 18:05
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#6
Đã gửi 25-05-2016 - 02:51
Đoạn này bạn giải thích giúp mình được không???
$x^{2}(y^{2}-p)=py^{2}\rightarrow py^{2}\vdots x^{2}$
Nếu p=y thì ta có $ p^{3}\vdots x^{2}$ Điều này không xảy ra vì p nguyên tố và x khác 1
$p\epsilon P, x>1\rightarrow p$ không chia hết cho $x$
$y<x\rightarrow y^{2} $ không chia hết cho $ x^{2} $
Suy ra p khác y$\rightarrow (p,y)=1$ suy ra $py^{2}$ không chia hết cho $x$
Cám ơn bạn
O0NgocDuy0Ođã góp ý cho lời giải còn thiếu sót của mình
Mình đang hóng lời giải của bài toán mở rộng do bạn HappyLife đưa ra Tìm các số nguyên dương
x,y,z sao cho $\frac{x^{2}y^{2}z^{2}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ là một số nguyên tố. (Mình tìm ra bộ nghiệm là (2;7;13) và các hoán vị , có thể chứng minh được trong ba số có một số chia hết cho p, bây giờ mình cần mọi người kiểm tra/ chứng minh (x,y,z)=1 hoặc tìm ra những hướng giải khác dựa vào bộ nghiệm trên)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doremon01: 25-05-2016 - 02:53
- O0NgocDuy0O yêu thích
#7
Đã gửi 25-05-2016 - 15:33
$x^{2}(y^{2}-p)=py^{2}\rightarrow py^{2}\vdots x^{2}$
Nếu p=y thì ta có $ p^{3}\vdots x^{2}$ Điều này không xảy ra vì p nguyên tố và x khác 1
$p\epsilon P, x>1\rightarrow p$ không chia hết cho $x$
$y<x\rightarrow y^{2} $ không chia hết cho $ x^{2} $
Suy ra p khác y$\rightarrow (p,y)=1$ suy ra $py^{2}$ không chia hết cho $x$
Đoạn này mình thấy không ổn vì: $5^{3}\vdots 5^{2}$ mà bạn???
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh